sinA — r

Faisons tendre h vers zéro ; par hypothèse, le rapport —j— tend

vers l'unité, puisque sin^ est supposé avoir pour ^= o une dérivée égale à i; d'aulre part, puisque la fonction %mx est continue pour ^ = o, et qu'on a prouvé que sino est nul, sinA tend vers zéro ; le premier terme du second membre s'évanouit donc. Quant au second terme, nous l'écrirons

cos^A — I , , ^cos/i — I , , ^ cosA — coso

j =(cosAh-i) 7 =(cosAh-i) 7 ;

ti il h

on voit ainsi qu'il tend vers zéro avec A, puisque cosx admet, par hypothèse, pour a? = o, une dérivée nulle. De tout <jpci résulte

Mais, comme F(a?) est une exponentielle, on sait que sa dérivée (Chap. V, n® 12) est pour ^ = o égale à

= loge».

logae

11 faut donc que a soit égal à l'unité, puisque son logarithme est nul. En conséquence on a

¥{x) = sin^a? -t- Qos^x = i.

De là résulte que les fonctions smx et cosx, si elles existent, sont des fonctions finies.

16. Nous allons voir que l'une et Tautre admettent une dérivée pour toute valeur x. Formons, en effet, le rapport

smix -^ h) — sinrc . cosA — i sinA

T-^ = sma? ; hcosa? — z — •

D'après ce qui a été vu, ce rapport tend vers cos^c quand h tend vers zéro; c'est-à-dire qu'on peut déterminer un nombre positif a, tel que, sous la seule condition | A | < a, on ait

|sin(^-+- h) — sina?

— cosa?

SÉRIES ENTIÈRES

e étant une fraction aussi petite qu'on voudra. Il y a plus : le nombre a ne dépend pas de x. Cherchons, en effet, à vérifier l'inégalité

cosA — I

■ cosrc

(sinA- \

Puisque sin^ et cosa: sont en valeur absolue inférieurs à l'unité, il suffit de satisfaire à l'inégalité

IcosA ■

sinA

Or, par hypothèse, sin^ et cos^ ont pour x = o des dérivées, respectivement égales à i età zéro. On peut donc déterminer un nombre a tel que, sous la condition | A ] < a, on ait à la fois

cosA — I

sin/i

et ce nombre a est évidemment indépendant de x. Ainsi la fonction sin^ est uniformément différentiable dans tout intervalle où elle existe et sa dérivée est cos^.

On prouverait qu'il en est de même de cos^ et que sa dérivée est — sina?.

17. Il suit immédiatement de là que sin^ et cos^ ont des dérivées de tous les ordres, qui sont uniformément di fférentiables , et qui, de plus, restent toutes en valeur absolue inférieures à tout nombre plus grand que l^ unité. Les fonctions sina: et cos^ remplissent donc des conditions suffisantes (n** 8) pour être développables par la formule de Maclaurin. En effectuant les développements, on trouve sans peine

sinrr = 07 —

COS^ =1 î

Mais la question n'est pas achevée. Il faut prouver que ces deux séries, qui sont convergentes pour toute valeur de x^ satisfont aux équations (1) et (2). Ce sont, d'après ce que nous savons (n® 5), des fonctions analytiques pour toute valeur x^

l64 CHAPITRE YIII.

c'est-à-dire qu'on peut, quels que soient x et A, leur appliquer la formule de Taylor. On trouve ainsi

cos(a7H- h) = QO%x sma? r cosa? -H ^rsina?-!-

Nous avons expliqué dans quel sens il faut entendre le signe d'égalité qui sépare les deux membres de ces formules. Si, dans chacun de ces seconds membres, on réunit tous les termes en sîn^ et tous les termes en cos^, et qu'on tienne compte des équations (3), on retrouvera immédiatement les relations (i) et (2), qu'il s'agissait de vérifier. Les séries (3) fournissent donc la solution complète du problème proposé.