V 6.7/ 9! V 9-AO

Tous les binômes entre parenthèses sont positifs quand x est compris entre zéro et 2. Donc sin^ est positif pour toutes ces valeurs.

Écrivons aussi

Les binômes entre parenthèses sont tous positifs pour a?== 2, valeur qui rend négative l'expression

Il suit de là que cos2 est négatif. Or coso est égal à i. Donc cos^, qui est une fonction finie et continue de ^, a au moins une racine comprise entre zéro et 2. Comme c'est une fonction décroissante dans cet intervalle, en vertu de la relation

cos(a7-H- K) = cosa? cos/i — siniP sin//,

elle n'a qu'a/ic racine entre o et 2. Nous pouvons calculer cette racine par la méthode générale que nous avons indiquée (Ghap. IV,

SÉRIES ENTIÈRES. l65

n° 2) pour calculer le nombre x qui fait prendre à une fonction continue une valeur donnée. Nous trouverons ainsi une suile convergente dont no«s désignerons les termes successifs par

TTï

et d'une façon générale par - , quand nous ne voudrons pas spécifier le rang. L'existence de cette racine entraîne la périodicité des fonctions sin^ et cos^. En effet, dans les équations (i)et(2)^

faisons A ^ — . Nous pouvons disposer de Tindice n de façon que cos— soit en valeur absolue inférieur à une fraction donnée S/i. Nous aurons alors

(4; sinfrcH ^ j = ôertSinir -t- sin — cosa:- (— i<6<i).

Or, en vertu de la relation sin^^ -|- cos^^ := i , on a