I -nr- rii I = (sir— e,.e ( - I < Ô,.< i

Ainsi, la somme des oscillations co^ est représentée par

cooH-a>i-4-...-ha)«t= |7)o— r/o|-h |t)i— T)i | -h . . . -h £26^.

Or, le coefficient de e est au plus égal an, et n étant fixé, on peut, d'après la définition du nombre e, prendre ce nombre assez petit pour que ne soit aussi petit qu'on veut. Pour établir que l'oscillation totale de F(X) est limitée, il suffit donc de prouver qu'il en est de même de la somme

l^io— >î'ol + hi-^i 1+....

Comparons celle-ci à la somme

ho — TQi I -+- h'o — "î^i I + hi — ^i 1 1 ■+- h'i — TQî I + • • • 7

dans laquelle les valeurs tjq, 1^;^, t)^ , r/^ de l'intégrale correspondent, dans l'ordre où elles sont écrites, à des valeurs croissantes de x. C'est là une somme telle que t,^ et qui, à ce titre, est limitée. Or, la proposée s'en déduit par suppression des termes de rang impair; elle est donc à plus forte raison limitée, d'où suit la conclusion annoncée.

4. Il ne faudrait pas croire que l'intégrale d'une fonction /(a;) ait en général une dérivée, et que cette dérivée soit/(^). Nous avons, en effet, formé précédemment (n® 1) une fonction 'J'(^) dont l'intégrale est constamment nulle et a, par conséquent, une dérivée nulle, qui ne peut se confondre avec ^(^).

Voici un cas important dans lequel une fonction f{x) est la dérivée de son intégrale :

Théorème. — Toute fonction continue dans un intervalle est la dérivée de son intégrale; de plus, cette intégrale est une fonction uniformément différentiable.

Pour le démontrer, rappelons l'inégalité obtenue plus haut

*'^> r f{x)dx— f f{x)dx>m'h,

OÙ M' et m' sont les limites supérieures et inférieures de ^{x dans l'intervalle (X, X -4- h). Or dans cet intervalle il existe deux valeurs \ et Ç' telles qu'on ait

s étant une fraction donnée, aussi petite qu'on veut. Mais, puisque f{x) est continue dans l'intervalle (a, £), on peut assigner un nombre a indépendant de X et tel que, si | A | <^ a, on ait

De ces inégalités et des précédentes on conclut

F(X-hA) — F(X)

ce qui prouve à la fois que F(X) admet pour dérivée /(X), et que cette fonction est uniformément différentiable, puisque a est indépendant de X.

5. Nous sommes maintenant en mesure de répondre à celte question : Etant donnée une fonction fi^x\ continue dans V intervalle {a ^ 6), existe-t-il une fonction F(;r) dont elle soit la dérivée ?

Nous voyons qu'il existe une telle fonction. C'est l'intégrale

F(^)= f f^^)dx,

Xo étant un nombre quelconque appartenant comme x à l'intervalle (a, h). On appelle fonction primitive de f(x) une fonction dont/(^) est la dérivée. Une fonction continue f{x) a donc au moins une fonction primitive. Si l'on représente toute fonction primitive de f(x) par

Jf f(ct;)dx-{-^(x),

on voit que f{oc) est assujettie à la seule condition d^avoir une dérivée constamment nulle. Or nous avons donné (Chap. V, n** 6) le moyen de former une infinité de fonctions «p(^) jouissant de cette propriété. Ainsi toute fonction continue a une infinité de ^onctions primitives.

Mais, si Ton astreint la fonction primitive de /(^) à être uniformément différentiable, comme l'intégrale de /(^) Test ellemême, il faudra que <p(^) soit uniformément différentiable. Or nous avons montré (Chap. VI, n® 6) qu'une fonction uniformément différentiable, dont la dérivée est nulle, se réduit à une constante. D'où cette conclusion :

Toutes les fonctions primitives y uniformément différent tiables^ d'aune fonction continue f{x) rentrent dans le type

f(x) dx -f- const.

Ce théorème (*) fait dépendre, dans certains cas, l'évaluation d'une intégrale de la connaissance d'une fonction primitive. En effet, si f{oc) est une fonction continue, et si l'on en connaît une fonction primitive uniformément différentiable F(^), on aura immédiatement

f{x)dx = F(a7,) — F(a7o).

On peut remarquer, à ce sujet, que la fonction primitive n'est point limitée comme l'intégrale; elle peut, en effet, à cause de la constante entièrement arbitraire qu'elle contient, acquérir une valeur absolue aussi grande qu^on veut, tandis que, ia fonction/(^) n'étant définie que dans l'intervalle (a, 6), toute intégrale

f{x)dx

dont la limite supérieure est donnée et appartient, ainsi que la

(') On pourrait, dans l'énoncé de cette proposition, omettre la propriété de/(x) d'être continue. On sait, en effet (Chap. VI, n» 1), que la dérivée d'une fonction uniformément différentiable dans un intervalle est continue dans cet intervalle.

limite inférieure, àrinteiTalle (a, 6), est nécessairement comprise entre deux nombres qu'on peut assigner.