IV. — Extension de la notion d'intégrale

6. Cas d^une limite infinie, — Considérons une fonction /(^), intégrable entre x^ et X, quelque grand que soit le nombre X, supposé, par exemple, positif. Soient x,^^ x^-, . . ., ^n-, • • • des nombres qui vont en croissant constamment et indéfiniment avec leur indice, et cela suivant une loi quelconque. Si les valeurs correspondantes de l'intégrale

forment une suite convergente, nous dirons que la fonction /(.r) est intégrable entre Xq et 4-oo, ou encore que le symbole

f{x)dx

a un sens. Il représentera, par définition, l'un des termes de la suite !<, I2, . . ., I/î, . . . à partir d'un rang suffisamment élevé. Dans tout autre cas, on dit que ce symbole n'a pas de sens.

Remarque, — Il n'est nullement nécessaire, pour que les intégrales I|, [2, . . ., I;i, . . . existent et forment une suite convergente, que les nombres

forment eux-mêmes une suite convergente, quelle que soit la loi suivant laquelle grandissent les nombres x^, X2, . . ., x^.

Mais si, quelle que soit cette loi, la suite /(^i), f{^i)^ • • • est convergente, cette suite a nécessairement pour limite zéro. Si, en effet, ses termes, à partir d'un certain rang /i, étaient, par exemple, supérieurs à un nombre positif /, on aurait

f{x)dx'>l{xn+r—^o (r = l, 2, ...);

donc les intégrales qui suivent I„ dépasseraient tout nombre assignable.

Exemple* — Soit la fonction

OÙ m est une fraction positive. On connaît une fonction primitive uniformément différentiable Ae f{x)^ savoir :

On a donc (n° S)

r^ dx 1 / I i__\

Faisant croître X indéfiniment, on reconnaît que les intégrales I^ , I2, . . . forment une suite convergente, si m> i ; que, au contraire, elles croissent indéfiniment en valeur absolue, si m <C ï. La conclusion est la même pour /n = i , parce qu'alors on a

^ dx — =logX— logiTo-

En conséquence, pour m > i, on a dx i

/y//i / \ in.— \

^ {ni — i)xQ

Si, au contraire, m est inférieur ou égal à i, le symbole écrit au premier membre n'a pas de sens.

Nous n'insisterons pas sur la règle bien connue qu'on déduit de là pour reconnaître si certaines intégrales à limite infinie ont ou n'ont pas de sens.

7. Cas où la fonction à intégrer devaient infinie. — Nous n'avons défini l'intégrale (Chap. III, n° 1) que pour les fonctions finies. Il y a intérêt à rechercher si le procédé de l'intégration peut s'étendre aux fonctions qui deviennent infinies. Une fonction f(x) étant définie dans l'intervalle (a, 6), supposons qu'il existe dans cet intervalle une suite convergente de nombres

croissants

tels que la suite f{oo\ ), /{oc'^)^ . . ., /{^n)y • • • ^^^^ divergente, ses termes grandissant indéfiniment en valeur absolue avec n. Nous allons prouver que le procédé sommatoire n'est applicable à cette fonction dans aucun intervalle (^0? X) compris dans (a, b) et comprenant la suite x\^ x'^^ , . .y x\^^ ....

Divisons, en effet, Tintervalle [xq^ X) en m autres intervalles, aussi nombreux qu'on voudra, et formons la somme

Sm = ^ f{\r) (a^r-f-l — ^r), {0C,n= X),

OÙ \r est un nombre intermédiaire entre Xr et Xr^^, Mettons en évidence le dernier intervalle {xh, ^k+\) q"i contient des termes de la suite x\^ x\^ Nous pourrons écrire

S/« =2 fiXr) {Xr+\ — Xr) -+-/(b) (^A+l — ^Ar) ^-^ Z^^'') (^''+1 — ^i^)' Ar-i-1

Aucun des intervalles qui figurent dans la seconde somme ne comprenant de termes de la suite (;r'), on pourra calculer la valeur numérique B de cette somme, comme la valeur numérique A de la première, quand on se sera donné le mode de fractionnement et les valeurs intermédiaires \rt qi*e nous supposerons toutes fixées, excepté \k* Or Xr et ^a+i, étant choisis, si voisins d'ailleurs que soient ces deux nombres, on peut assigner entre eux un terme x' delà suite x\^ . .., tel que/{Xp) et, par suite, /(.r^) (^Ta+i — ^a), soit aussi grand qu'on veut, plus grand, par exemple, que N fois la somme | A ] + | B |. En prenant Ça= ^^ on voit que la somme S,„ sera aussi grande qu'on voudra. C'est ce que nous exprimerons en disant que la fonction /(x) n^ est pas intégrable.

Remarquons la généralité de l'hypothèse sur laquelle est fondée la démonstration : il suffit qu'il existe une suite x\^ x\^^ ... telle que lestermes de la suite correspondante f{x\)^ /{^2)j ••• croissent indéfiniment en valeur absolue. Toute autre suite équivalente peut ne pas jouir de la même propriété.

8. Appliquons ces considérations à des exemples : I** Soit d'abord la fonction

Elle devient aussi grande qu'on veut quand x prend des valeurs positives suffisamment voisines de zéro. Cette fonction n'est donc pas intégrable dans l'intervalle (o,X), X étant un nombre positif quelconque. Elle admet une fonction primitive 2^ qui reste finie pour x ^^lo,

2** Considérons la fonction

F(a7) = x^ÛTL- (i<a <-2).

Celte fonction admet une dérivée

f{x^ = xx'^-^ sin x^-^ cos - •

Il est visible que /(^) devient aussi grande qu'on veut quand X est suffisamment voisin de zéro. Elle n'est donc pas intégrable dans l'intervalle (o,X), X étant un nombre positif quelconque. Elle admet une fonction primitive F (a?) qui reste finie pour ^ = 0.

Contrairement à ce qui arrivait dans l'exemple précédent, la fonction /(^) est ici parfaitement déterminée pour a; == o qui lui fait acquérir la valeur zéro (Chap. VI, n^ 1, Remarque), De plus, toute suite de nombres positifs décroissants et tendant vers zéro ne rend pas/(j7) de plus en plus grande, puisque /(:«:'„) reste finie pour toutes les valeurs

X,^^ (ai := I, 2, . . .).

— étant un terme de la suite convergente qui définit la plus petite

racine positive de l'équation cosz = o, terme dont l'indice r croît de plus en plus avec n. On a donc là un exemple de la propriété ([ue nous signalions tout à l'heure.

Les deux fonctions que nous venons de reconnaître comme n'étant intégrables dans aucun intervalle (o,X) admettent- des G. R. - I. 12

fonctions primitives qui restent fînies pour ^ = o. Il n'y a point là de contradiction avec ce que nous avons vu plus haut (n°* 4 et 5). Nous n'avons, en effet, établi de relation entre la fonction primitive F (;r) d'une fonction /(^) et son intégrale qu'en supposant F(^) uniformément différentiable et, par suite, f {x) continue dans l'intervalle considéré; or, dans nos exemples, il n'en est pas ainsi.

9. Bien qu'une fonction qui devient infinie dans un intervalle (ou à l'une de ses extrémités) ne soit pas intégrable dans cet intervalle, on est conduit par les applications, et notamment par la quadrature des aires planes, à établir une distinction entre les fonctions de cette espèce, au point de vue de l'intégrabilité, et à étendre cette notion à certaines d'entre elles.

Supposons que, dans l'intervalle (a, fc), il existe une suite convergente

telle que la suite correspondante

contienne des termes plus grands en valeur absolue que tout nombre assignable. Considérons deux suites équivalentes à la suite \n et composées, l'une de nombres croissants,

l'autre de nombres décroissants,

Xi, iTj, . . . , Xni . . . •

Il peut se faire que f{x) soit intégrable entre a et Xn et aussi entre œ'^ et 6, quelque grand que soit n. Nous poserons alors

1/1= / f{^)dx, 5n= 1 f{x)dx,

et nous formerons les deux suites :

(t) II, Ij, ..., I/i, ...,

Si elles sont toutes les deux convergentes et si toutes les suites, qu'on obtient en remplaçant dans les intégrales I les limites supérieures par des nombres formant une suite équivalente à la suite des Xri'i sont équivalentes à la suite (t); si, de même, toutes les suites, qu'on obtient en remplaçant dans les intégrales J les limites inférieures par des nombres formant une suite équivalente à la suite des ^'^, sont équivalentes àMa suite (y), nous dirons que la fonction f{x) est intégrable entre a et b et que son intégrale est l'un quelconque des termes de la suite

à partir d'un rang suffisamment élevé.