V. — Intégrales singulières

11. Supposons qu'une fonction de deux variables /(a?, a) soit intëgrable par rapport à x lorsqu'on attribue à a une valeur constante. L'intégrale

J = / /(a?, a) dx

définit une fonction de x^ qui change d'ailleurs quand on change a. Mais certaines fonctions /(^, a) présentent une particularité remarquable : si L est la valeur de J pour une certaine valeur de X\^ en relation avec la limite inférieure a, on peut disposer de a de manière que l'intégrale J reste égale à L quand on change sa limite supérieure. En termes plus précis, s'étant donné arbitrairement ^<, ainsi qu'une fraction positive e aussi petite qu'on veut, on peut déterminer un nombre a^ tel que, sous la seule condition

|a|>|ail, on ait l'inégalité

*Ja

en outre, une fois a Jixé de la sorte, cette inégalité subsiste si l'on remplace Xt par une série d'autres nombres plus éloignés de la limite inférieure a. On dit alors que l'intégrale considérée est une intégrale singulière.

Voici une importante intégrale de cette espèce qui intervient dans la démonstration de la célèbre formule de Fourier. C'est l'intégrale

, r ' sinaa?

lOLX ,

- ax.

Le symbole soumis au signe d'intégration n'ayant pas de sens pour a; = o, nous conviendrons qu'il représente ol quand x est nul. Grâce à cette convention, la fonction considérée est continue de ^ = oà^ = .ri,y compris la limite inférieure. Le nombre a est un entier positif impair.

Pour obtenir la valeur remarquable L, propre à cette intégrale,

INTÉ6RALES ET FONCTIONS PRIMITITES. l8l

nous lui donnerons comme limite supérieure l'un des termes —

de la suite convergente qui définit la plus petite racine positive

de l'équation

cosa? = o.

En faisant usage de la formule connue

sinarrr ^ , .

— : = I -h 2 003 237 4- 2COS4a7-t-.. . -t- 2C0S(a — l)rP,

nous aurons

sina7 2

la somme des termes non écrits pouvant être rendue, quand n est suffisamment grand, moindre qu'une fraction donnée e. Si l'on suppose cette fraction inférieure à la plus petite quantité qu'on est convenu de conserver dans chaque calcul particulier et qu'on remplace i^n par le symbole plus simple u, on aura

Maintenant la limite supérieure X\ de l'intégrale J va être supposée quelconque dans l'intervalle (o, -'*) ; il serait facile d'étendre

la démonstration au cas où x^ sérail négatif et compris dans l'intervalle symétrique. Pour calculer J, nous diviserons l'intervalle (o, Ti/ï) en de intervalles consécutifs égaux; X\ est situé dans l'un de ces intervalles, le m'^*°* par exemple : on aura

(m — i) — <Xi<m^* oc oc

Comme on peut d'ailleurs écrire

Jr^'sinaa? , /* * sinaa? , /* * sinaa? .

— -: dx = I —, ax — / —. dx.

^ sina; J^ sina? J^^ sma?

nous décomposerons la dernière intégrale du second membre en

l82 CHAPITRE IX.

plusieurs autres, au moyen des nombres croissants

xiy m — f (m ■+■ i) — 9

g — I ^ T^n 1 OL 1

ce qui nous donnera

l'élément différentiel étant sous-entendu pour abréger l'écriture. Il est très facile de voir que, si l'indice n est suffisamment grand, les diverses intégrales qui figurent au second membre ont des signes alternés et des valeurs absolues décroissantes, à partir de la seconde. Leur somme sera donc en valeur absolue inférieure à tout nombre surpassant les modules des deux premières intégrales. Or on a

Jr sinaa? , f* sinaa; , i \ T - j

—. ax < f — dx <,—. / sm oLxdx

Mais la valeur absolue de la dernière intégrale est

cos rmz — cos{m — i)7t Ce résultat étant indépendant de m, on voit que l'on a

f ^'h^dx< f 'i

d'où résulte

■dx

oL sinxi

sina:r , 7t»

— : dx

sma? 'À

a smxi

On peut donc, étant donné a?<, déterminer a de manière que la différence considérée ail un module moindre que toute fraction positive e, si petite qu'elle soit; et le module de cette différence restera inférieur à e si, conservant la valeur trouvée pour a, l'on

INTÉGRALES ET FONCTIONS PRIMITIYES. l83

remplace la limite supérieure de J par un nombre plus grand que Xi , mais toujours inférieur à — •

12. Voici maintenant un important théorème relatif aux intégrales singulières; il sert de fondement à la démonstration de la formule de Fourier.

Théorème. — Si f{x) est une fonction à oscillation totale limitée dans un intervalle (a, 6), et si, le nombre x^ appartenant à cet intervalle ,^ V intégrale

est une intégrale singulière, on a

f f(x)^{x,a.)dx=f{a-^o) j (^{Xya)dx,

en désignant par f{a-\-o) la valeur que la fonction f{x) acquiert quand x tend vers a par valeurs décroissantes.

Formons, en effet, une suite quelconque de nombres décroissants ;ri, X2t ..., ^„, ..., qui ait a pour limite, et posons, pour abréger,

D'après la définition de l'intégrale, nous aurons, pour n très grand,

/ f{x)^{x,0.)dx= r.^yt^ ')3r3 + ---H-TQrr/--»-----+-l^«r/l-

Or, le second membre peut s'écrire

yn{r,n^, . .-^y,t) + {yn-i—yn){ TQ«-1 + . • •+»),)+. . •+ (^1— Ta) 11-

Mais, par définition, on a

yn = f(a-^o)y Tr)«-+-...-f-T)2~ / (f(x,0L)dx.

Il vient donc

/ f{x)^{x,CL)dx^ f(a-\-o) f ^(x,cL)dX'\-Kn,

l84 CHAPITRE IX.

^sî Ton pose

La fonction /(^) ayant une oscillation totale limitée, la série

est convergente, puisque ses divers termes sont au plus égaux à l'oscillation de f{x) dans chaque intervalle partiel. On peut donc, se donnant la fraction positive e, aussi petite qu'on veut, prendre r suffisamment grand pour vérifier l'inégalité

I rr — Jr-Hl I -f- . . . + 1 rn-1 " J/J < £•

Dès lors, la partie de R„ qui correspond à cette somme est évidemment inférieure à eM, M étant un nombre supérieur aux valeurs absolues de l'intégrale

<p(ar, a)(ia,

pour Xs compris entre ael x^.

Évaluons maintenant la seconde partie du reste

L'indice r étant fixé, je puis choisir a assez grand pour que la somme

"'ir-l-H- •

çp(a7, a.) dx = I (fdûT — / o dx

soit moindre que e. Une fois a choisi de cette manière, il en sera de même des sommes analogues {'r\r-2-\-- "-^-'^2)^ •••î qui s'expriment par des intégrales dont les limites supérieures Xr-2, . . ., sont des nombres plus grands que Xr-i- En conséquence, si Q est l'oscillation totale de /(x) dans Tintervalle (a, ^4), la partie du reste que nous étudions est en valeur absolue moindre que eÛ. On a donc finalement

<eM4-eÛ,

INTÉGRALES ET FONCTIONS PRIMITIVES. l85

ce qui démontre la proposition énoncée, puisque e est arbitraire et aussi petit qu'on veut.

La limite inférieure des valeurs de a pour lesquelles cette inégalité a lieu dépend, bien entendu, de e; elle finit par être d'autant plus élevée que e est plus petit.