VI. — Formule de Fourier

13. Nous allons montrer qu'une fonction /(^), qui, dans un intervalle ( — /, /), d'amplitude au plus égale à 211, a son oscillation totale limitée et n'admet qu'un nombre fini de discontinuités, est représentable dans tout cet intervalle par une série trigonométrique

Ao-i- Al cosa7-+- Bi s\nx -f- Aj cosaic -h Bj sin2a?-i-. . ., dont les coefficients ont les valeurs suivantes :

Ao= — I /(u)du,

km— - I /(u)cosmudity B,„ = - / f (il) sïn mu du.

Pour tout nombre x auquel correspond un saut brusque de

la fonction, la série est égale à la demi-somme des valeurs

f{x -\- o) et f{x — o) que la fonction acquiert quand la va-

riable tend vers le nombre x^ soit par ikileurs décroissantes,

soit par valeurs croissantes.

En effet, prenons 2 m H- 1 termes dans la série trigonométrique et appelons S^ leur somme. Nous aurons

Sm= - I f {u)\ - -h ^^ (cos nx cos nu -h sinnxs'in nu) \ du ■"' 1

= "/ /(") — ^ii cos/i(m — x)\ du.

l86 CHAPITRE IX.

Mais nous avons rappelé précédemment (n® H) la formule

- -r-^ co%n{u — x) —

Si l'on pose pour simplifier

sin(2/w-+-i)

•1 sin

il n'y a qu'à tenir compte de ce changement de notation et de variable pour trouver

■ 7.Z) . ^ dz.

Remarquons que la valeur z =^ o est comprise entre les deux limites de l'intégrale. Nous pouvons donc remplacer cette intégrale par les deux suivantes :

/f(x-^iz) . dz -f

■iz)

sinpz sin^

dz.

qui se réduisent à une intégrale singulière étudiée plus haut (n° H), quand on y fait abstraction du facteur f(x-\-2z) et qu'on suppose / inférieur ou au plus égal à it,|.

Or, d'après ce qui a été dit précédemment (n** 12), on peut choisir p assez grand et prendre dans la suite iti , 7^2, . • -, i^,,, • • . un terme it de rang assez élevé pour satisfaire aux inégalités

'2 sin DZ , TT ^ . .

f(x-^iz) . dz f(x-\-o)

f{x-i-iz)

s\nz

sinpz

dz f(x — o)

où les symboles f(x + o), f{x — o) ont le sens précisé à l'endroit cité.

Les explications que nous avons données à ce sujet nous permettraient même d'assigner la valeur que doit prendre l'entier /?, c'est-à-dire /n, et le nombre de décimales avec lesquelles il faut

calculer 71 pour qu'il en soît ainsi. Nous aurons donc

^ S;„ = ^ [/(^ + o) -\-f{x o)] H- ee (- 1< e < I ).

Si, pour la valeur considérée x^ la fonction y(^) est continue, on pourra écrire, en désignant par S (a:) la série Irigonomé-

trique,

Si, pour cette valeur, /(a:) est discontinue, la discontinuité ne peut être qu'un saut brusque (Chap. III, n** 10), et il vient

les symboles f(^x + o), f{^x — o) ayant ici le sens qui leur a été attribué dans l'énoncé du présent théorème.

Remarque, — Si une fonction à oscillation totale limitée est définie entre — /et 4- /, elle peut être, entre deux limites plus rapprochées ( — A, H- X), représentée d'une infinité de manières par une série trigonométrique. Soit, en effet, y un nombre quelconque, compris entre X et /. Il est évident, d'après ce qui précède, que /(^) peut être représentée par une série de Fourier dans laquelle les coefficients ont les valeurs suivantes :

Ao-^ — / f{u)du,

Xm— - I f(u)cosmudu, B/;, — - / /{u)sïnmudu:

ty Y

ce qui donne autant de développements qu'on veut, y étant un nombre arbitraire, assujetti à la seule condition d'être compris entre X et /. Chacun de ces développements représentera la fonction /(x) dans l'intervalle ( — A, -i-X).

NOTIONS SUR LES FONCTIONS DE DEUX VARIABLES ET APPLICATIONS A LA THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE SEULE VARIABLE.

Diverses questions de la théorie des fonctions d'une variable exigent, pour être traitées rigoureusement, qu'on se réfère à certaines propriétés des fonctions de deux, ou plusieurs variables indépendantes. Nous réunissons dans un même Chapitre les premières notions relatives à ces fonctions et l'exposé des questions qui en dépendent : fonctions composées, fonctions implicites, intégration de l'équation différentielle du premier ordre.