II. — Continuité des fonctions de deux variables

2. Les fonctions de deux variables qu'il y a le plus d'intérêt à considérer sont les fonctions continues* Mais la continuité de pareilles fonctions peut être entendue de diverses manières.

On dit que/(;r, j^) est une fonction continue /70Mr chaque couple x^ y de nombres appartenant à une région {Xf^^y^] X, Y) si, se donnant une fraction positive e, d'ailleurs aussi petite qu'on voudra, on peut déterminer un nombre a tel que les deux seules

conditions

entraînent l'inégalité

\f(x -i-h,y-h k) — /(ar, y)\<s.

11 est bien entendu que l'on doit, dans la suite convergente qui définit /{^,y)^ prendre des termes assez éloignés du premier pour que tous ceux qui les suivent vérifient cette même inégalité.

En général, a dépend des valeurs considérées x ely. Quand il n'en dépend pas et qu'il est conséquemment le même pour tous les couples x,y appartenant aune région (x^^yo] X, Y), la fonction /est dite continue dans toute cette région. Il faut bien distinguer ces deux sortes de continuité, dont la seconde est évidemment plus particulière que la première (*).

Quand une fonction de deux variables est continue pour chaque couple de nombres appartenant à une région {xQ,yo ; X, Y), elle devient, quand on y fixej^, une fonction de x continue pour chaque valeur appartenant à l'intervalle (^q,X); c'est de même une fonction continue pour chaque valeur y quand x est fixé. Pareillement, si une fonction de deux variables est continue dans toute la région (^^o, yo ', X, Y), elle devient une fonction de Xy

(') Dans la théorie classique, au contraire, ces deux modes de continuité se ramènent l'un à l'autre.

igO CHAPITRE X.

continue dans l'intervalle (xq, X), quand y conserve une valeur constante, d'ailleurs quelconque entre y^ et Y. C'est aussi une fonction de j^ continue dans l'intervalle (y^^ Y), quand x est fixé entre x^ et X.

Mais les réciproques de ces propositions évidentes ne sont pas exactes. C'est ce que prouve l'exemple de la fonction

car f{x^ y) est dans la région (o, o ; X, Y) une fonction continue de X quand on fixe j^ et une fonction continue dey quand c'est x qui reste constant. Cependant /(o:, y) n'est pas une fonction continue dans la région considérée : elle prend dans une région (o, o; e, e), quelque petite qu'on la suppose, toutes les valeurs comprises entre — 1 12 et 1 12. En eflet, dans une telle région, le rapport

prend toutes les valeurs possibles ; par conséquent la fraction

prend toutes les valeurs comprises entre son minimum — 1:2 et son maximum 1:2.

3. Il faut maintenant appeler l'attention sur une espèce de continuité des fonctions de deux variables qui n'a pas d'analogue dans les fonctions d'une variable. Supposons que f{x^y) soit une fonction continue yt^o m/* chaque valeur de x quand on attribue ky une valeur constante, d'ailleurs quelconque. On peut alors déterminer un nombre positif a tel que, sous la seule condition

\h\<OL,

on ait l'inégalité

\f{oo-^Ky)-f{x,y)\<t,

En général, a dépend à la fois de x et dey. Quand il ne dépend pas de x^ la fonction est dite uniformément continue par rapport à X pour la valeur considérée de y) quand a ne dépend pas

FONCTIONS DE DEUX YARIABLKS. APPLICATIONS. igi

de x^ ni de y^ la fonction est dite uniformément continue par rapport à x^ quel que soit y. Cette propriété de certaines fonctions est d'un grand intérêt : elle intervient dans la démonstration des propositions les plus importantes du Calcul intégral.

4. Une proposition analogue à celle que nous avons établie pour les fonctions d'une seule variable (Chap. III, n** 6) relie la convergence des suites à la continuité des fonctions de deux (ou de plusieurs) variables dans une région donnée.

Théorème. — Etant données une première suite convergente quelconque

^ij ^j) • • • 1 ^tit • • • ï

appartenant à V intervalle (a'q, X), et une seconde suite convergente, également quelconque,

yu yty •••, jK/j •••, si la suite

dont les arguments sont pris dans les deux précédentes, les indices /i, /i«, /i2, . . ., /*, /'i, z^? • • • allant en croissant, est convergente, la fonction f {x ^ y) est continue dans toute la région {xo.yo] X,Y).

Réciproquement, si la fonction f{x^y) est continue dans toute la région considérée, la suite

fi^n.yr), f{^n,,yn)j f {^n,, yr,\ ■■•

est convergente quelles que soient les deux suites

xij 072, •.., o?„, ...; yij yzi ..., y^ •••j

pourvu qu'elles appartiennent respectivement aux intervalles

{xo, X) et {yoy Y).

Nous ne donnerons pas la démonstration de cet énoncé, qu'il serait facile de calquer sur celle de la propriété que nous venons de rappeler. Nous indiquerons seulement ici comment il faut

former la suite (i). Le symbole f{Xn^yr) est l'un quelconque des termes d'une suite

^1, Zi, . . ., -SjjLî • • • ;

de même, f{x„^^y^^) est un terme d'une suite ^1, ^j, ..., z^,^ ...

et ainsi des autres; la suite (i) est formée des termes z^- z^,^ . . ., les indices jji, jji', ... allant en croissant, d'une manière absolument quelconque d'ailleurs.

Nous avons montré (Chap. I, n® 18) que, si l'on remplace jji, [ji', . . . par n'importe quels indices respectivement plus grands, la nouvelle suite est convergente et équivalente à la suite z^^ z'^.^ ... ; autrement il n'y aurait pas lieu de considérer la suite (i).