III. — Dérivées partielles et différentielle totale

5. Si une fonction de deux variables f{x^ y) est continue par rapport à l'une d'elles, x par exemple, pour chaque valeur or, lorsqu'on attribue ky une valeur constante, d'ailleurs arbitraire, il peut se faire que/(a;,j^), considérée comme fonction de x^ admette une dérivée. Ce sera la dérivée partielle de f{x^ y) par rapport à x. On la représente par le symbole /'^{x^ y).

Il faut distinguer ici une sorte de dérivation qui n'a pas son analogue dans les fonctions d'une seule variable. Si f{x^ y) admet une dérivée partielle fx^x^y) pour le couple (a:, y), on peut, étant donnée une fraction positive e aussi petite qu'on voudra, déterminer un nombre positif a tel que, sous la seule condition

I A 1< a, on ait l'inégalité

-fxi^^y)

En général, a dépend à la fois de x et de y. S'il ne dépend ni fie x^ ni dejK, la fonction f{x^y) sera dite uniformément différentiable par rapport à x^ quel que soit y. Cette propriété importante intervient dans diverses propositions du Calcul intégral, pour en limiter l'extension.

FONCTIONS DE DEUX YÀRIABLES. APPLICATIONS. jgS

Une fonclion de deux variables admettanl des dérivées partielles par rapport à chacune d'elles, on appelle différentielle totale de celte fonction la somme des produits de chacune d'elles par l'accroissement de la variable correspondante.

Ici se pose une question qui domine toute la théorie des fonctions de plusieurs variables. Donnons aux variables x ti y des accroissements A^ et Aj^; il en résulte pour la fonction / un accroissement

V = /(^ 4- Ax, 7 -i- t^y) —f{x, y),

qu'il est naturel de comparer à la différentielle totale

Est-il possible de choisir les accroissements Ar et ^y assez petits pour que V accroissement de la fonction et sa différentielle totale diffèrent Vun de Vautre aussi peu qu^on voudra? Telle est la question que nous avons en vue et à laquelle nous allons, dans un cas très étendu, donner une réponse affirmative.

Nos hypothèses seront les suivantes :

1** Dans la région (^oîJKo? X, Y), la fonction/ admet pour tous les couples {x^y) des dérivées partielles y^,^ déterminées, mais qui ne sont pas nécessairement finies;

2® La fonction /est uniformément différentiable par rapport à l'une des variables, x par exemple, quel que soit y] d'où il résulte que la dérivée partielle /^(x,j^) est une fonction continue pour chaque valeur j^.

Cela posé, on a identiquement

t^f = fKx — ^^y — t^y)—f{x, y-r-Sy)^f{x,y-h i^y)—fix,y).

Nous pouvons nous donner une fraction positive e, aussi petite que nous voudrons, et déterminer un nombre ^ tel que, sous la seule condition

on ait, en désignant par k un entier positif qu'il est avantageux d'introduire en vue de ce qui suivra,

194 CBAPITRE X.

d'après Thypothèse 2", le nombre ^ ne dépend pas de y; il restera donc le même quand cette variable passera de la valeur y + Ay à la valeur y.

D'autre part, on peut calculer un nombre positif y tel que, sous la seule condition

on ait l'inégalité

I Ar

-fyi^.y)

En même temps, à cause de l'hypothèse 2®, on peut supposer y assez petit pour vérifier l'inégalité

|/;(^,j.-HA^)-/i(.r,^)|<i.

Il est donc permis d'écrire

(-i<e, 6'<i); il suffit ici de prendre k = i pour obtenir l'inégalité

I A/ - /; Aa? - /; Aj^ |< e i 2 I Aa: I + i AjK I

qui répond à la question.

Remarque. — Les hypothèses sur lesquelles nous avons fondé notre démonstration sont beaucoup moins restrictives que celles sur lesquelles on s'appuie d'ordinaire, quand, appliquant la formule des accroissements finis, on suppose les dérivées partielles continues par rapport à l'une et à l'autre des variables.

Cette remarque est importante à beaucoup d'égards et notamment à celui-ci :

C'est sur la propriété précédente que repose la démonstration des conditions d'existence d'une fonction analytique d'une variable complexe; une telle fonction est, en général, holomorphe aux environs d'un point pris au hasard dans le plan, c'est-à-dire que, dans un domaine suffisamment petit, elle admet des dérivées de tous les ordres et peut être développée en série de Taylor. 11 y a donc intérêt à faire le moins possible d'hypothèses pour être assuré que la fonction jouit de ces propriétés.

FONCTIONS Dl DEUX YÀRIÀBLES. APPLICATIONS. 196