IV. — Fonctions composées

6. Existence, — On donne une fonction de deux variables /(m, v) définie dans toute la région («q, Vq\ U, V); on suppose que u Q\, s? sont deux fonctions de œ^

a = cp(a7), ç = ^{x),

définies dans un intervalle (^o^X). Il s'agit de savoir si /{u^ v) est une fonction de or, qu'on appellera alors une fonction composée de œ.

U n'en est pas ainsi en général. Mais il y a un cas où le théorème du n® 4 permet de répondre affirmativement. C'est celui où la fonction /{u, r) est continue dans toule la région (mo, Vol U, V), les quatre lettres ayant les significations suivantes :

ao=c?(xo), (^0=4^(^0), U = cp(X), V=vKX).

En effet, à une valeur donnée x, intermédiaire entre Xo et X, correspondent deux suites convergentes :

Mj, Ut, ..., Un, ...; Vi, (^2, .-., t'r,

Si l'on forme les couples («/«, ç^/.)? ("n,? ^r, )? • • • » la suite

f{Un,Vn)y /(Un.yVr,), ...

est convergente en vertu de la continuité de /(w, v). D'ailleurs, toute suite formée d'une manière analogue avec des termes affectés d'indices plus grands est équivalente à celle-ci. Celte suite, correspondant à une valeur déterminée x, définit une fonction de X,

On volt, au contraire, que, si la fonction /n'était pas continue, la suite ci-dessus pourrait être divergente et ne définirait pas une fonction de x.

7. Dérivée, — Pour trouver la dérivée d'une fonction composée, nous ferons les hypothèses suivantes :

1** Les fonctions u =^ f (^) et v = ^{x) ont des dérivées déterminées^ mais pas nécessairement finies, dans l'intervalle (:Co,X);

2° La fonction f{u^v) est continue dans toute la région (Wqî^oî U, V) précédemment définie;

3** Elle est, dans toute cette région, uniformément différentiable par rapport à chacune des variables, quelle que soit l'autre, ce qui entraîne que /^ et /^ soient continues par rapport aux deux variables dans toute la région.

D'après l'hypothèse 2** et la démonstration du paragraphe précédent, f{u, v) est une fonction de x.

D'après Thjpothèse 3**, il en est de même de /^ et de /^.

On voit de plus que les deux hj'potlièses entraînent les hypothèses beaucoup moins restrictives que nous avons faites (n^* 5) pour établir la formule qui donne l'accroissement A/ d'une fonction de deux variables; de sorte que nous pouvons appliquer cette formule.

A une valeur x correspondent deux suites convergentes :

et à X -h Aj; deux suites convergentes Un-h ^Unj i^/iH-A^„. Nous avons donc, d'après la formule (2),

SOUS les seules conditions

(3) lAa«|<p, 1Ap,J<y,

les nombres ^ et y pouvant être calculés quand on se donne e et A" (nous déterminerons k un peu plus loin); ces nombres, en vertu de l'hypothèse 3°, ne dépendent ni de w, ni de ç'.

Or on peut déterminer un nombre positif a' tel que l'inégalité

entraîne les deux suivantes :

Alors \^Un\ sera moindre qu'un certain nombre P'; nous le prendrons inférieur au plus petit des deux nombres ^ et P'. Pareillement A(^,i sera moindre qu'un certain nombre y'; nous le prendrons inférieur au plus petit des deux nombres y et y'. Pour satis-