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(^) Si, dans l'une de ces suites, tous les termes qui viennent après un certain terme lui étaient égaux, ce terme serait la racine exacte de A, contrairement à l'hypothèse.

Mais, quels que soient les deux nombres a et p, on a

am pm = (a p)(a'«-i-i- pa"»-2-4-. . .-4- p'«-2a -+- p'»"*)»

et, par suite, si a > j3 > o, d'où, dans le cas présent,

et, a fortiori.

Or cette inégalité, dont le premier membre n'est pas nul, puisque A n'est pas une puissance m'^°*® exacte, est impossible; car, pourr suffisamment grand, lo'* dépasse tout nombre donné et, en particulier, le nombre

Donc les racines par défaut et les racines par excès forment deux suites convergentes, mais dont les termes ne tendent vers aucun nombre énonçable.

6. Ainsi, il existe deux grandes catégories de suites convergentes : les unes sont appelées suites rationnelles y les autres suites irrationnelles.

On dit (j^w^une suite est rationnelle, quand ses termes tendent vers un nombre déterminé. Une suite est convergente par le fait seul qu'elle est rationnelle.

On dit qu*f/ne suite convergente, dont les termes ne tendent vers aucun nombre limite, est irrationnelle. Voici une proposition générale qui permet, dans certains cas, de reconnaître qu'une suite est irrationnelle.

7. Théorème. — Les termes d'une suite étant supposés tendre vers un nombre A, si le terme Un diffère de tous les suii^ants de moins de e, la différence entre A et Un est en valeur absolue moindre que tout nombre supérieur à e.

Soit en effet

I Un^p— Un I < e.

Si l'on avait

on n'aurait qu'à choisir/? tel que l'on eût

I A — Un+p\ <£A.

De cette inégalité et de l'égalité précédente résulterait

I Un-^p — M« I > S,

contrairement à l'hypothèse.

Application, — Les nombres «i, u^, ..., qu'on déduit de l'expression générale

en faisant successivement /i = i, /i = 2, ..., forment une suite convergente. Car il est bien connu que la différence Unjf.r — Un

est, quel que soit r, inférieure à ^, • Je dis que les termes de

cette suite ne tendent vers aucun nombre énonçable. Supposons en effet que la suite ait pour limite un nombre fractionnaire A : B. La différence entre cette limite et le terme Ua sera

inférieure à tout nombre plus grapd que y' On aura donc, si

petite que soit la fraction positive A,

A T -f- /i I ■TT — Wrt < : — T .

J'ajoute que le premier membre de cette inégalité n^est pas nul. Car la suite U\^ u^y ... a ses termes croissants (*). Choisissons aï tel que n\ soit divisible par B. En multipliant l'inégalité par n\

on trouvera qu'un quÛqy positif e^l inférieur à la fraction ;

d'où l'impossibilité d'une limite.

(*) Si une suite rationnelle a ses termes croissants (ou décroissants), aucun d'eux ne peut être égal à la limite A; sans cela les termes qui suivent celui-là différeraient de plus en plus de A.