III. — Suites équivalentes
8. La propriété A'' équivalence, dont jouissent les termes de rang suffisamment élevé d'une suite convergente (n® 3), peut aussi appartenir aux termes de deux suites différentes, ce qui conduit à la notion de suites équivalentes, qui joue un rôle capital dans la théorie des fonctions.
Étant donnée une suite convergente
(1) ^1, Ui, ..., Un, ...,
une autre suite
(2) Vu ^2, ••-, ^ni ...
est dite équivalente à la première, si la différence Vu — Un de deux termes de même rang est en valeur absolue aussi petite qu'on veut, lorsque ce rang est suffisamment élevé.
En d^autres termes, deux suites convergentes sont équivalentes, si la suite formée par les différences de leurs termes de même rang a pour limite zéro.
Il y a une infinité de moyens de former des suites équivalentes à une suile convergente donnée. On peut, par exemple, ajouter respectivement aux termes de cette suite ceux d'une suite quelconque ayant pour limite zéro. On peut aussi, dans la suite (i), changer arbitrairement Tordre des termes, ce qui donnera la nouvelle suite
(1)' W,.,, l/,.„ ..., Mr„, ....
Il est clair que les indices entiers r^, /'a, . . • , Oo - . . finissent, quelle que soit la loi du bouleversement des termes, par dépasser tout entier N, si grand qu'il soit, car il n'y a que N entiers qui soient inférieurs ou égaux à N. Cela étant, on voit immédiatement que les différences u^^ — Un tendent vers zéro, à raison de la convergence de la suite (i). La suite (i)' lui est donc équivalente.
26 CBAPITRE PREMIER.
9. Si deux suites convergentes ne sont pas équivalentes, les différences de leurs termes de même rang ne peuvent tendre vers zéro. Mais il y a plus.
Théorème. — Si deux suites convergentes
(0 Wl, "2, ...1 Un, ...,
ne sont pas équivalentes, les termes de Vune sont tous^ à partir d^un certain rang, plus grands que les termes correspondants de Vautre (*).
En effet, supposons qu'au delà d'un rang quelconque n on pût trouver, dans les deux suites, des termes Un^p', Un+q et ^/i+;>, v„^ç vérifiant les inégalités
Comme Un diffère de tous les termes qui le suivent de moins de e, et Vn diffère de tous les termes qui le suivent de moins de e', les deux inégalités qui précèdent conduiraient à ces deux-ci
La différence Un — Vn serait donc moindre en valeur absolue que £ + e', et, comme n est quelconque, elle tendrait vers zéro. Les suites (i) et (a) seraient donc équivalentes, contre Thypothèse.
10. L'importance de la notion de suites équivalentes tient à certaines propriétés de ces suites, notamment à celle que voici.
Théorème. — Si une suite convergente est rationnelle, toute suite qui lui est équivalente est rationnelle aussi. Toute suite équivalente à une suite irrationnelle est irrationnelle.
Il suffit de démontrer la première partie de l'énoncé. Or elle résulté immédiatement des définitions qu'expriment les inégalités
(') Cette proposition interviendra dans la définition des fonctions.
SUITES CONVERGENTES ET SÉRIES NUMÉRIQUES. Tj
OÙ A désigne la limite de la suite W|, W2> • • • • Où en déduit en
effet
ce qui montre que la suite v^^ ^2, ... a pour limite A. Application, — Considérons la suite classique
t;, = i, ç;2=i-+-Y» *'^~('"*"W^ "*' ^"'^'^^y'^ ~ni)
Il ne serait pas facile de montrer directement qu'elle est convergente et irrationnelle. C'est ce qui résultera de la comparaison avec la suile
I I 1 ai = I , wj = H- - > Ma = iH ; , . . . ,
à laquelle nous avons reconnu (n° 7) ces deux propriétés. En effet, il esl bien connu qu'on a
/ 1 \'« Il 1 ire, o,,;5 1
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les 6 étant des fractions comprises entre zéro et l'unité, et que
les termes entre crochets ont une soitime moindre que 3. D'où
les inégalités
O < M/n-Hi — V,n-^i < — y
qui démontrent l'équivalence des deux suites.
11. Il ne faudrait pas s'abuser sur la portée de l'expression suites équivalentes et croire qu'on pourrait, dans tout calcul, substituer aux termes d'une suite convergente donnée les termes de toute autre suite équivalente. Ainsi, soit une suite convergente
(3) Ml, Mîî ..•» W/i, ....
Sur chacun de ses termes u nous effectuons certaines opérations arithmétiques dont nous désignons le résultat par /(w). Nous
déduisons ainsi de la suite (3) une nouvelle suite
(4) /("l)» /(Wj), ..., f(Un)y ...
que nous supposons convergente. Substituons maintenant à la suite (3) une suite équivalente
(3)' Vu t's, ..-, Vn, ...
pour former, avec ses termes, ceux d'une quatrième suite
11 peut parfaitement arriver que celle-ci ne soit pas équivalente à la suite (4) et même qu'elle ne soit pas convergente (^).
