FONCTIONS DE DEUX YÀRIABLES. APPLICATIONS. I

faire à ces deux nouvelles conditions, | Ax | devra être moindre qu'un certain nombre a; nous le prendrons inférieur au plus petit des deux nombres a et a'. Moyennant cette limitation, nous aurons

ou bien, en eOectuant,

(4) ^=/;,.?'-^A'y-|[5/^,-3'A^-^o?'+9'f+(aSe+S'e')i].

Soit M la plus grande des valeurs absolues de /^ et de fl dans toute la région, valeurs qui sont certainement limitées, puisque ces deux fonctions, étant continues dans la région, restent finies. Le troisième terme du second membre est évidemment inférieur en valeur absolue à

[^2M -- 2 I o7x) IH- I f (:r) i -^ ^1 .

On peut donc, connaissant seulement x, disposer de k de manière que ce terme complémentaire soit en valeur absolue inférieur à e. Dès lors, quand on fait tendre Ax vers zéro suivant une loi quelconque, les quotients A/:A^ forment une suite équivalente à celle qui a pour terme général

Or celle-ci est convergente, car/^ ^^ /l sont des fonctions continues de uei desf dans toute la région considérée. Donc la fonction composée / admet une dérivée donnée par la formule

Ainsi se trouve établie, sous les hypothèses spécifiées, la règle de diOérentiation des fonctions composées (*).

(') Oa a dû remarquer, dans celle déaioastration, le rôle de rhjrpothèse d'après laquelle ? et y sont indépendants de u et de v. S'il n'en était pas ainsi, il se pourrait que ^ ou y lendit Ters zéro, quand Tindice n croit indéfiniment. Le nombre a tendrait alors aussi vers zéro et il serait impossible d'assigner un interyalle, si petit qu'il fût, où Tégalité (4) eût lieu.

On en déduirait sans peine la dérivée de la somme u-{- v^ du produit uVj du quotient ulv de deux fonctions douées de dérivée dans un intervalle (xc X); en effet, les trois fonctions /(w, i^) correspondantes sont continues et uniformément différentiables par rapport k u et à v dans toute région (la dernière, pourvu que v ne s'annule pas).

Mais nous nMnsisterons pas sur ces résultats, qui s'obtiennent directement (Chap. V, n®7).

V. — Formule des accroissements finis pour les fonctions de deux variables.

8. Soit /(^, y) une fonction de deux variables qui, dans la région (a:o,jKo ; X, Y), sera supposée uniformément différentiable par rapport à chacune des variables quelle que soit l'autre, et soient (^, y), (^+A, y-i-k)deiix couples appartenant à cette région. Nous allons démontrer qu'on peut écrire

= hfj.(x-h bh.y-h %k) -h kfy(x -h 6 A, j^ -h 6A^),

8 étant un certain nombre compris entre zéro et l'unité. A cet effet, nous considérerons la fonction auxiliaire

f{x-+-hr,y-i-kt),

qui dépend de la nouvelle variable ^, par l'intermédiaire des deux

fonctions

u = X -\- ht, ç = y -\- kt.

Des hypothèses que nous faisons ici il résulte que /(m, v) est continue dans une région relativement aux variables u el v\ c'est donc (n® 6) une fonction composée de t

dans un intervalle qui comprend zéro et l'unité, et tout revient à exprimer la différence

Nous démontrerons dans un instant que F(^) est uniformément

FONCTIONS DB DEUX YARUBIfS. APPLICATIONS. I99

différenliable dans cet intervalle, qui comprend (o, i) : on a donc, en appliquant le théorème des accroissements finis (Chap. VI,

Or la règle du paragraphe précédent donne

Remplaçant u elv par leurs valeurs et faisant ^ = i , nous obtenons la formule annoncée.

Prouvons maintenant que F(^) est uniformément diflférentiable. Soit t' une valeur voisine de ^, dans Tintervalle (o, i) et posons

u' = X -\- ht\ t»' = y -h kl* .

Je dis qu^étant donnée une fraction positive e, aussi petite qu'on voudra, on peut trouver un nombre a indépendant de t et tel que, sous la seule condition

!^'-^l<a, on ait

Cette inégalité n'est autre que

Nous écrirons son premier membre comme suit :

Cette expression est visiblement inférieure à la somme

Or, d'après nos hypothèses, /(m, v) est uniformément diflférentiable par rapport à chacune des variables, quelle que soit l'autre. On peut donc, étant donnée une fraction positive y) aussi petite qu'on voudra, déterminer deux nombres ^ et y, indépen-

dants de u et de v, tels que les deux inégalités

!«'-«!<?, |„'^|<Y entraînent les deux suivantes :

car u' et v' appartiennent comme m et (^ à la région dans laquelle f{u, v) jouit de la propriété invoquée. On a donc

=f'u{u,v)^^r, (-iO<i),

Mais, à cause de la continuité de /^ par rapport à v', nous pouvons supposer y assez petit pour qu'on ait

Tenant compte de ces divers résultats, on trouve

ou bien

Il est donc très facile de disposer de y\ de manière à rendre S plus petit que la fraction donnée e, ce qui achève la démonstration.