FONCTIONS DE DEUX YARIÀBLES. APPLICATIONS

allons préciser, démontrer l'existence d'une pareille suite, qui définira j^ comme fonction implicite de x.

Nous supposerons que, dans une certaine région (a, b\ A, B), la fonction f{x^y) soit uniformément différentiable par rapport à chacune des variables, quelle que soit l'autre. A un certain nombre Xq^ appartenant à l'intervalle (a, A), correspondra, par hypothèse, une suite convergente jK4>JK2î •••> JK/ï? ••• comprise dans l'intervalle (6, B) et telle que /(^/ï,JK«) tende vers zéro quand n croît indéfiniment. Enfin la dérivée partielle /'(^, ^) ne s'annulera pas dans la région considérée; c'est-à-dire que son module restera, dans toute la région^ supérieur à un nombre qu'on pourrait calculer.

Soit j^o un terme de rang suffisamment éloigné dans la suite yi, J^2j • • -îJK/ïi Nous montrerons qu'à tout nombre Xq-^ h, voisin de ^o, correspond une suite convergente A* i, A"2î • ••7^/ïi ..et une seule telle que la suite

f{xo-\-h,yQ-\-kn) {n = 1,1, 3, ...)

converge vers zéro.

Appliquons la formule des accroissements finis au développement de

f{xo-\-h, yo-hk) --/(^o,ro)»

le couple {xo -1- A, j^o+ ^) étant provisoirement quelconque dans la région considérée. Nous aurons

et le premier terme du second membre sera, en valeur absolue, aussi petit qu'on voudra.

Je dis que, h étant donné, on pourra disposer de | A"|, de manière que le second membre ait le signe de k. En effet, les dérivées partielles/^ et/^ étant continues dans la région considérée, leurs modules sont compris respectivement entre des limites inférieure

et supérieure

m<\fa:\<M, n<\fy\<N.

En conséquence, on a nécessairement

I h/r.ixo-i- e A, j^o+ 6A:) |< I A I M, 1 A/^Jaro-f-ÔA, yo-^^k) >\k\n.

Il suffit donc de prendre

pour que le terme en k donne son signe au second membre : or cela est possible, puisque n, en vertu de l'hypothèse faîte sur^^, n'est certainement pas nul. Ayant ainsi choisi A", on est assuré que les deux nombres

seront de signe contraire. On peut d'ailleurs faire \h\ assez petit pour que les deux valeurs (^o— ^) appartiennent à l'intervalle (6, B), où la fonction y jouit, entre autres propriétés, de celle d'être, quand preste constant, une fonction continue dey, et de plus une fonction croissante (ou décroissante), puisque sa dérivée yi, ne s'annulant pas, garde dans tout cet intervalle le signe de jÇX^o>^o)- Dès lors, en vertu de deux théorèmes démontrés au Chapitre IV (n°* 2 et 3), l'équation

admet une racine et une seule comprise entre y^ — k et ^q + ^• Par là est démontrée l'existence d'une fonction implicite et d'une seule, qui prend la valeur j^q pour x = Xq.

Cette fonction y est continue pour toute valeur de x pour laquelle elle existe; car à l'accroissement h de la variable correspond, pourj^, un accroissement k qui est un terme de la suite k^^ Â^a, ... dont l'existence a été implicitement établie ci-dessus, et Ton a vu que les modules de ces termes sont dans un rapport fini avec] A |.

Mais il y a plus. Lorsque A", dans la formule (5), désigne cet accroissement, le premier terme, de même que /(^o> J^o)> est aussi petit qu'on veut, et cela quel que soit h. On voit donc que cette équation peut s'écrire

^ ^ /;„(.ro-i- 6/1,70-4-6 A:) e Comme, d'autre part, les dérivées partielles /^ et fy sont des

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fonctions continues des deux variables, elles se réduisent respectivement à/^(^o, j^o)» JrX^ojyo) quand h devient nul.

De tout cela nous concluons que la fonction implicite j^ admet une dérivée, et que cette dérivée est donnée par la formule

/dy\ ^ /r,(^o^7o) ^ oùyo ^ Isi signification que nous avons précisée plus haut.