VII. — Équation différentielle du premier ordre

10. Étant donnée une fonction de deux variables /(^, y) définie dans une certaine région et assujettie à des conditions, d'ailleurs très larges, que nous indiquerons tout à Theure, il s'agit de trouver une fonction y de la seule variable x dont la dérivée ait pour tout nombre x la même valeur que f{x^y) et qui, pour^ = ^Oî prenne une valeur donnée ^q. La solution de ce problème comporte une double recherche : d'abord, celle du procédé numérique par lequel on peut calculer les valeurs Ae y pour les diverses valeurs de la variable; ensuite, celle de l'amplitude de l'inlervalle dans lequel ce procédé est applicable et qui ne peut, bien entendu, jamais s'étendre au delà de l'intervalle dans lequel est définie la fonction /(:r,j') quand on y attribue ky une valeur constante.

Nous ferons trois hypothèses sur la fonction /(^, j).

I® Elle est définie dans une région comprenant le couple (^o> J^o)> c'est-à-dire pour tous les couples (x^y) satisfaisant aux deux inégalités

• x — XQ\<a, \y—yo\ <b,

où a et è sont deux nombres positifs donnés.

2® La fonction /(^,j^) est continue dans toute cette région au sens précisé plus haut (n^* 2), c'est-à-dire que, s'étant donné une fonction positive e aussi petite qu'on voudra, on peut trouver un nombre yj dépendant seulement de e et tel que û{x^y) el{x'^y) sont deux couples quelconques appartenant à la région et assujettis aux seules conditions

on ait l'inégalité

i^ On peut calculer un nombre positif k tel que l'on ait

x^y^y' étant absolument quelconques dans la région considérée. Cette dernière hypothèse, due à Lipschitz, est évidemment réalisée quand la fonction f{oc.^y) admet une dérivée/^ toujours finie.

11. Cela posé, considérons une valeur x^ telle que le module de ^ — Xq soit inférieur au plus petit des deux nombres aeibl M, M étant la limite supérieure de la fonction y(^,^) dans toute la région où elle est définie; puis divisons rintervalle (xq^ x) en n autres, au moyen des nombres intermédiaires x^^x^^ . . ., x^^ ; enfin, calculons une suite de nombres ^^4,^^21 • • -^ Xn ^^^ '^s formules

Il faut d'abord montrer que les valeurs ainsi calculées ne sortent pas de la région dans laquelle f{x,y) est définie. Or, si Ton ajoute membre à membre les r premières des équations ci-dessus

et qu'on remplace /(^o? JKo) 5 /(^«> JKO' " -> P^^ '^ nombre plus grand M, on trouve

yr—y^< ^\Xr—X^\,

parce que les x se succèdent par ordre de grandeur croissante (ou décroissante), et comme on a

il en résulte bien

IjKr — roi <*•

Ainsi, yr est compris dans la région considérée, quel que soit l'indice r, entre 1 et /i.

Il s'agit maintenant de prouver que, par ce procédé, nous formons effectivement une fonction y de x\ c'est-à-dire que, si nous

FONCTIONS DE DEUX VARIABLES. APPLICATIONS. 2o5

multiplions le nombre des intervalles et si nous en diminuons indéfiniment l'amplitude suivant une loi quelconque, les diverses valeurs y^ correspondant au même nombre x forment une suite convergente.

Considérons d'abord une première loi de subdivision, dans laquelle on ne fait que fractionner les anciens intervalles, en conservant leurs extrémités. La première division que nous envisageons est telle que, si ûCî et Xî^i en sont deux termes consécutifs quelconques, on ait

(6) l/(^/-4-i,ri-+0— /(^/^7')l <£»

e étant une fraction qu'on se donne. C'est ce que l'on peut toujours réaliser : en effet, quand j^/ est connu, yi^^ est fourni par la formule

qui entraîne l'inégalité

\yi+\~yi\ <M\xi+^ — Xi\]

on peut dbnc choisir xt^^ — JC/, dont on dispose, de façon à avoir

\Xi+^--Xi\ <ri, \yi^\—yi\ < ri,

inégalités qui, diaprés l'hypothèse 2*^, entraînent l'inégalité dont il s'agit.

Nous passons maintenant à une subdivision dans laquelle tous les nombres tels que Xi et Xi^i sont conservés, mais qui en intercale d'autres, Ç,, ^2j • ••> ?a-M entre ces deux-là.

Nous désignerons par y'^, u,, Ua, ..., tJa-M JK/+4> les valeurs de^, toujours calculées par le même procédé, qui correspondent aux nombres xi^ Çi, ^25 • • ? ?a-4î ^i^i et nous nous proposerons, supposant connue la différence y) — yi^ d'évaluer la différence y'i+i — yi+i- Or, nous avons

^1 —y'i = A^h y'i) ($1 — ^i)^ A cause de l'inégalité (6), cette dernière relation peut s'écrire

^î-ui = [/(^oy^)-+-e2Ê]($i-$i) (-i<e2<i).

2o6 CHAPITRE X.

On aura des expressions analogues pour les différences suivantes, dont la dernière est

r;>i-^a-i=l/(^/,y/)-^ea-ie](^/-M-?a-i) (-l<ea-|<i). Ajoutons membre à membre toutes ces égalités; nous trouvons

parce que les x se succèdent par ordre de grandeur croissante (ou décroissante).

Faisons maintenant usage de l'hypothèse 3". Elle nous permet d'écrire

Substituons cette expression dans la relation (7) et rapprochons-en celle-ci :

Nous obtiendrons, par soustraction,

(rî+i -yM) - (y'i —yi) = (^/+i - ^/) l^Hy'i -yt) -^ Oe],

d'où résulte

1(^/4-1 —yi+i) — (y'i~yi)\ < | ^/-hi~ •^* | \^\y'i—yi | -+- e},

ou, à plus forte raison,

lr/4.1— r/H-i 1-1 Y— jkI < l^/4-i-^/l \^\y'i-yi\-^^\-

Telle est l'inégalité que nous avions en vue. Nous la mettrons sous la forme équivalente

IZ/vi — 7*H-il -^ l< \\y'i-yi I -^ I J I) -^ ^ I ^m- ^/| j,

et nous l'appliquerons à tous les nombres ^0? ^m ^2? •••> ^«-i? Xu^=^x de la première division en nous rappelant que^'p=j^oî de sorte que, pour i=: o, on a simplement

\y\-yi\-^j< \ jn-A:|^i — ^ol|.

Multiplions cette inégalité membre à membre avec les suivantes

J'/+; — 7/+I I - I < [1//— 7/1 + I J h -^ k\Xi^,'^Xi\ j