IV. — Propositions relatives à la convergence des suites

12. Nous allons indiquer deux caractères auxquels on reconnaîtra la convergence de certaines suites et donner divers moyens de former des suites convergentes.

Théorème. — Si une suite indéfinie se compose de termes non décroissants et dont aucun ne surpasse un nombre déterminé, elle est convergente.

Si une suite indéfinie se compose de termes non croissants et dont aucun n^est inférieur à un nombre déterminé, elle est convergente.

Supposons que chaque terme de la suite

soit supérieur ou égal au précédent et que, de plus, Um soit inférieur, quel que soit m, à un nombre déterminé A. Je dis qu'il existe un entier n tel que l'on ait toujours

si petite que soit la fraction positive donnée e. En effet, s'il n'en (^) Cette proposition négative intervient dans la définition des fonctions.

est pas ainsi, c'est qu'à partir d'un certain rang /? on a toujours

h étant une fraction positive déterminée. Mais, puisque r et 5 sont quelconques, on peut supposer s = i et faire successivement r = o, 1,2, ... ; d'où les inégalités

^Ap^l — Up'^ hf Up^2 — Up+x"^ h, ,.., ap^;.^l — Up^r^ h,

qui entraînent

Up^r+i> Up-hrh,

Pour /' suffisamment grand, Up-\- rh surpassera A, contre Tb)'po thèse.

On établirait par un raisonnement analogue la seconde partie de l'énoncé.

13. La proposition qui précède n'est qu'un cas particulier de celle-ci, qu'elle sert à démontrer :

Théorème. — Si la suite est telle que la somme

S«= I Ml— Wîl + I Ma— Mal -H... -h I Un-i— Un\

ne dépasse jamais un nombre déterminé A, quelque grand que soit n, cette suite est convergente.

En effet, les sommes 84, So, . .., Sn-, .. . qui vont en croissant et dont aucune ne dépasse A, forment, d'après ce qu'on vient de voir, une suite convergente. Ceci s'exprime par l'inégalité

S«-Hp — S,i = I M» — M,t4-i I -+-... -h I Ufi+p-i — Un-hp I < e,

d'où l'on déduit a fortiori

I Un — Mrt-hi -h a/,^l — Un+2 -+-...+ Un+p-i — Un-^-p | = | M„ — Un+p | < £,

ce qui prouve la convergence de la suite proposée (*).

(*) Ce second critérium nous permettra d'établir rigoureusement la formule de Fourier.

3o CHAPITRE PREMIER.

14. Voici quelques moyens simples de former des suites convergentes, au moyen de deux suites convergentes connues :

Les suites dont le terme général est Unàzvn^ ou Un^n sont convergentes; il en sera de même de celle qui a pour terme général Un : r,i, pourvu que la suite {v) ne tende pas vers zéro.