ARCHIMEDE

l'éclat, et s'intéressent fort peu à ce qui se passe dans le cabinet solitaire d’un savant. Aucun écrivain romain n’a consiicré une ligne aux découvertes de science pure faites par Archimède, tandis que Plutarque, Polybe et Tite-Live nous ont lai.ssé l'histoire, assez détaillée, du siège de Syracuse par le consul romain Marcellus, et la mention des machines de guerre construites par Archimède. Seulement, étrangers aux sciences phj’siques, ils ne donnent sur ces machines que des notions vagues et peu satisfaisantes, qui ne font comprendre que trèsincomplètement leur mécanisme, et ne nous apprennent rien sur leur disposition précise.

On est heureux, quoi qu’il en soit, de pouvoir rapporter le texte de ces historiens concernant les machines inventées par Archimède pendant le siège et le blocus de Syracuse. Nous citerons surtout Plutarque, ce qui nous dispensera de donner des extraits de Pol3'bo et de Tite-Live.

Mais faisons d'abord connaître les événements qui amenèrent l'aggre.ssion des Romains.

A la mort du roi Hiéron, Syracuse fut paisiblement gouvernée par son petit-fils. Ce dernier souverain étant mort à son tour, un général de l'armée sicilienne, nommé Hippocrates, voulut usurper le pouvoir suprême. 11 espéra s'élever facilement au trône en obtenant l’appui de Carthage. Pour mériter la faveur et la reconnaissance des Carthaginois, il ne recula point devant un crime affreux. 11 fit passer au fil de l'épée tous les Romains (pii se trouvaient aux environs de la ville de Léontium.

Nous ne savons comment furent reçues à Carthage les horribles avances du général svracusain ; mais ou sait fort bien comment elles furent appréciées à Rome. Un cri d’horreur et de vengeance répondit à cet attentat. Rome jura de détruire .Syracuse. Appins et le consul Marcellus, furent envoyés on Sicile, à la tête d’une armée. Léontium fut bientôt prise et saccagée.

Hippocrates s’étantréfugié à Syracuse, cette ville fut assiégée par terre et par mer. Appius investit Syracuse, du côté de la terre, et établit son camp non loin des fortifications de la ville, tandis que Marcellus entourait le port d’un cercle de soixantecinq galères. C'étjiient les galères les plus puissantes de la flotte romaine ; elles étaient à cinq rangs de rames. Ensuite, il

prépara une formiilable machine de siège, destinée à attaquer, du côté du port, les murailles de la ville. C'était une sorte de bélier immense, installé et porté sur huit vaisseaux, solidement attachés ensemble.

Les dispositions du consul romain étaient si bien prises, et les moyens d’attaque si formidables, que personne ne mettait en doute la ruine prochaine de la ville assiégée. Mais on avait compté sans Archimède.

Les appareils mécaniques qu'.Archimède avait imaginés dans les premiers temps de sa vie n'avaient jamais été pour lui qu'une pure distraction, et comme le dit Plutarque, « de simples jeux de géométrie " (1) qu'il avait exécutés dans ses moments de loisir, et sur les in.stances du roi Hiéron. Il s'agissait maintenant d'un objet autrement sérieux : il fallait défendre sa patrie.

Archimède fit appel à son génie inventif, et Plutarque va nous apprendre comment les Syracusains purent résister pendant trois ans aux attaques des Romains, grâce aux machines improvisées par .Archimède, et dirigées par lui :

« Marcelliis, lUt Plutart|uc, fit scs aiipriiclies , en même temps par terre et par mer. L'aimée de terre était sous les ordres d'.Appius'; et lui-même s'avancait à la tête de soixante saléres à cinq rangs de rames, garnies de traits et d'aimes de toute ésiiecc ; enfin huit vaisseaux attachés ensemble formaient un raste jiont sui' lequel s'élevait une marhine prnpreîi liattre les murailles. C’est ainsi qu'il voguait vers la ville, se confiant dans la grandeur et la puissance de ses préjiaratifs. et aussi ilans sa réputation. Tout cela cepenilant, Archimisle n'en tenait nul compte: aussi bien n’était-ce rien, en comparaison des machines d’.Archimèdc . . .

« A la double attaque des Romains. Syracuse, frap]iéc de stuiieur. demeura muette d’épouvante ; elle n’avait rien à ojiposer à tant de forces, à une aussi puissante armée. Mais Arcbimède fit agir ses machines. .Aussitôt l’aimée de terre fut assaillie d’une grêle de traits de toute espi’îce. de pierres énormes lancées avec une impétuosité, une roideur incroyables : nul ne |iouvait résister à leur choc ; elles renversaient tous ceux ipii en étaient atteints, et elles ]Kirlaient le désordre dans les rangs, Quant à la flotte, tantôt c'étaient des poutres qui apiiaraissaient tout à

(1) ■ Ce n'e»t point qu'il le* donnût lui-même pour de* inventions d'une grande valeur ; il les regardait, pour la plupart, comme jeux de géométrie, et qu’il ii’avait exécutés que pour céder aux honorables instnnccs du roi Hiéron. Hiéron avait engagé Archimède à détourner un instant, des choses intetllgihles vers le* corporelles, fes- Borde son âme. et à rendra ses raisonnements sensiltles au vulgaire, eu les mêlant, comme il lui plairait, d'applications ustielleB. s (Plutarque, Vîr dt Sfarcetlui. Traduction de Fierron.)

ARCHIMÈDK

coup ilu liaut dos murailles, et qui s'abaissaient s\ir les vaisseaux, pesant d'en haut par l'impulsion qui leur était donnée et |>ar leur propre (xiiiLs, et les coulant à fonil ; tantôt c'étaient des mains de fer ou des Iwcs do «rue, qui les enlevaient, et qui, les tenant tout droits, la prauc en haut et la poupe en bas, les plongeaient dans les Ilots ; ou bien, par un mouvement de réaction, les vaisseaux tournaient sur eiLX-mémes, et ils se brisaient ensuite contre les écueils et les pointes de rocliei-s qui bonlaient le picil des raum ; et lu plupart de ceux qui les montaient périssaient biojés du même coup. A chaque instant, on vo)-ait quelque vaisseau ainsi enlevé, planant au-dessus de la mer ; siieclacle à faire frémir ! Il était là, siiB|)endu, tournoyant de côté et d'autre ; et les hommes roulaient précipités du ])ont, et lancés violemment comme d'une fronde : vide aloi-s, le navire heurtait contre les murailles, ou bien il s'en allait coulant dans les flots, quand le crochet lâchait prise. La machine ipie Marcellus faisait avancer sur son grand jiont ,s'api)elnit sambuqiie, à cauae de sa ress<‘mblance avec l'instniment de musique de ce nom (1). Comme elle venait vers le mur, et qu'elle en était encore loin, Archimède lanqa contreelle une piene du [Hiids de dix talents (2;, puis aussitôt après une deuxième, puis une troisième; ]ilusieurs, en tombant sur la machine avec grand fracas cl avec l'impétuosité de la tempête, en broyèrent la basi- ; et ébranlant toute la chariænte du pont, elles la mirent en pièces. Aussi Marcellus, ne sachant (|ue foire, s'éloigna-t-il prom|itement avec sa flotte, et donna à l'armée île terre l'ordre de battre en retraite. On tint conseil ; et il fut résolu qu'on essayerait encore, jiendant la nuit, si l'on i>ourrait arriver jusqu'aux murailles. Les cordages employés iwr Archimède avaient tant de force, qu'ils lanceraient, liensait-on, les traits par-dessus leur tète, et, de près, on en serait parfaitement à l'abri, les traits n'ayant plus alors leur portée. Mais il parait qu'Arcbimislo avait de longue main pris ses mesures même contre cet inconvénient : il avait disi>osé des machines dont la jiortée était pro|tortionnée à toutes les distances, et des traits courts, dont les décharges se succédaient presque sans interruption ; il avait percé la muraille de trous nombreux, fort rapprochés les uns des auti-cs , et garnis de scorpions d'une force médiocre, mais propre à frapiier de près, et invisibles à l'ennemi.

• Arrivés aujirès de la muraille, les Romains se emyaient à couvert ; mais, là encore, ils se trouvèrent en butte à mille traits, à mille coups ; des pierres leur tombaient d'en haut sur la tète, et tous les points de la muraille lamjaieiit dos traits contre eux. Ils se retirèrent donc ; mais lorsipi'ils furent de nouveau à une |>ortée plus grande, d'autres traits volèrent, et les assaillirent dans leur retraite; il |)crdirent lieaucoup île monde; leurs vaisseaux s'entre-choquaient avec violence, et il leur était im|xissiblc de faire de leur côté aucun mal à l'ennemi. .\rchimètlo avait disjioaé la plupart de scs machines derrière les murs, c'était une main invisible qui faisait pleuvoir mille maux sur les Romains ; on eilt dit un combat contre les dieux.

« Cependant Marcellus échappa au danger ; et raillant ses ouvriers et ses ingénieurs; « Ne cesserons-nous donc |ioint. dit-il, de guerrover contra « ce géomètre, qui prend nos vaisseaux pour des coiqtes à puiser l'eau de

Tt l-a samtmqiie arait à peu près la forme de la harpe moderne,

,2, Knviron 300 kilogrammes.

O mer : qui suiifllctti! outrageusement et aliat la sambuque, et qui sur- « liasse CCS géants mvthnlogiqucs aux cent bras, en lanijant contre nous « tant (le traits à la fuist a En clfct, toute la |ui|mlatinn de Syracuse était le cor|>s, et Arcbiméde seul l ame, qui faisait jouer et mouvoir toutes les machines ; toutes les autres armes se reposaient, et les siennes seules étaient employées, et pour ratta(iue, et pour la défense. Enfin, telle était devenue la crainte des Romains que, s’ils voyaient s'allonger audessus des murs le moindre Isiut do conlc ou de poutre, ils tournaient le dos, et ils se mettaient à fuir en criant ; « C'est encore quelque mao chine qu'Archiméde pousse contre nous ! » Ce que voyant, Mairellus renoinpi à tous les combats, à tous les assauts, et résolut de changer le sié’ge en blocus (1), »

Le blocus de Syracuse durait depuis longtemps, lorsque, à l'occasion d’un prisonnier, des conférences furent ouvertes entre Marcellus et les chefs des Syracusains. Pendant ces conférences, Marcellus remarqua qu’une des tours était gardée avec négligence ; et que par cet endroit il était facile d’escalader les murailles. 11 fait secrètement dresser des échelles. Les soldats pénètfent dans la tour sans être vus. Ils brisent une porte et occupent les endroits voisins.

En ce moment, les habitants de Syracuse célébraient, en toute sécurité, la fête de Diane. La nuit s’écoulait dans les plaisirs et les festins. Personne ne se doutait du danger qui menaçait la ville. Aussi chacun demeura-t-il frappé d’épouvante lorsque Marcellus, qui avait pénétré dans la ville, parut et commença l’attaque.

Les Romains s’emparèrent de plusieurs quartiers par la force ; le reste leur fut livré par trahison. BienWt ils furent en possession de laville entière, qui fut abandonnée à la fureur des soldats.

Archimède fut la plus illustre victime du courroux des Romains vainqueurs. Plutarque raconte ainsi sa mort :

O Arebiméilc él.iit soiil, occupé i réfléchir sur une figure ilo géométrie, les yeux et In |wnsée tout entiers à cette méditation, et ne s'a|»ercevant ni du bruit (les Romains qui couraient par la ville, ni de la prise de Syiacuse. Tout à coup, un soldat se présente, et lui ordonne de le suivre devant Marcellus. Arcbiméde voulut résoudre aiqiaravant le problème, et en établir la démonstration ; mais le soldat en colère tira son é|iée et le tua. D'autres disent que le Romain arriva tout droit sur lui réiiée nue, |iour U' tuer ; qu'Arebimèdo le pria, le conjura d'attendre un instant, i>our qu’il ne laissât point son problème inachevé et sans démons-

(1) Pialarque, Vifs dts bomnifn iVliotrrx (Marcellus), traduction Pierrou, édition Chnrpeutier, în-lB, t. II, p. (13-67,

AUCHIMKUK 23S)

tnitioii, mais (|ue lo solilat, m» so souciant point île proldcme, l'étjrorfïea. Il y a un tioisiiane iccit. Aicliiniùile portait à Maicelliis des instniments de nmtliématiipies, comme cadrans solaires, sphères, anpies pour mesurer à l'œil la ttrandenr du soleil ; des soldats le rencontn'rent, et, se fitturant que c'était de l'or qu'il portait dans sa caisse, ils le tuèrent (l). »

Arcliiiiiède avait soixante-quinze ans, lorsqu’il périt sous le fer brutal d'un soldat.

Tel n’était pas assurément le sort que le consul romain réservait au savant dont le patriotisme et le courage avaient résisté, pendant trois ans, aux efforts de l'armée et de la flotte romaines.

Marcellus re.ssentit une douleur profonde de la mort d’Arcbiniède. Ün dit même qu’il prit le meurtrier en horreur, et le livra au supplice. Il fit rechercher avec soin tous les parents qu’ Archimède avait à Syracuse. 11 les traita avec distinction ; il les exempta des contributions de guerre et autres obligations qui pesaient sur les habitants de la ville emportée d’as.saut.

Les obsèques du défenseur de Syracuse se firent avec une grande pompe. Hans cette solennité funèbre, vainqueurs et vaincus confondaient leur admiration. Comme .Archimède l’avait ordonné d’une façon expre.sse dans sou testament, ou grava sur son tomlieau une sphère inscrite dans un cylindre, pour désigner celle de ses découvertes qu’il estimait le plus. Les anciens aimaient à décorer leurs tombeaux de ce qui avait occupé leur esprit ou leur cœur. Ils voulaient revivre jusque dans la mort, par la pensée qui leur fut chère.

Les choses humaines ont de tristes retours, et certains peuples sont singulièrement oublieux de ceux qui ont fait leur gloire! Un siècle après la mort d’.Archimède, le peuple de Syracuse avait perdu la mémoire de ce grand homme. On se souvenait à peine de celui qui avait défendu et illustré la Sicile. Sous l'oppression romaine, la population de Syracuse, autrefois si dévouée au culte des sciences et des arts, était tombée dans la plus profonde ignorance. Cicéron, se trouvant eu Sicile, en qualité de questeur, désira visiter le tombeau d’.Archimède, pour rendre hommage à la mémoire d’un grand citoyen et d’un savant illustre. Mais personne dans Syracuse ne put lui montrer ce

(I) tbilUm, pago 71.

tombeau. Ce n'est qu’après l'avoir longtemps cherché qu'il finit par le découvrir, entre les ronces et les épines qui le cachaient. C’est ce que nous raconte Cicéron lui-même :

• Étant, ilit-il, i|U(*stciir on Sicile, je mis tous mes soins à découvrir le tomlH>au d'.Arcliimède. Los Syracusains altiniiaicnt qu'il n’oxistait |Hiint. .le le trouvai environné de ronces et d'épines. .le fis cette découverte à l’aid<' d'nne inscription qu'on disait avoir été fjravée sur son monument, et qui indiquait qu’il était surmonté d’une sphère* et d'un cylindre. Parcourant des yeux les nombreux tonds'aux (pii se trouvent vers la porte d'Aj^risente, j’a|K'r(;us une ladite cidonne (pii s’élevait audessus du buisson, dans laquelle se trouvait la fipui’e d'une sphère et d'un cylindre, .le m'écriai aussitôt di>vant les princi|«mx habitants de Syracuse, ipii étaient av(>c moi ; • Voilà, je pense, ce que je cheirhais ! » Un 'grand nombre de jiersonnes furent cliargé(*s ih* couper les buissons et de découvrir le monument, Nous vîmes l'inscription à moitié rongée ]>ar le temps.

«Ainsi la plus noble et jadis la plus docte des citéa de la Grèce ignorerait encore où était le tombeau du plus illustre de ses citoyens, si un liorame d'.Arpinum (Cicéron lui-mème) ne le lui ava.it appris. (1) •

Cette réflexion de l'un des plus illustres citoyens de cette é])oque montre à quel degré de dégradation la civilisation était alors tombée d.ans la Grande-Grèce.

Nou.s donnerons maintenant l’exposé général des travaux d’.Arcliimède.

.Archimède est l'auteur d'inventions mécaniques tissez nombreuses et d'ouvrages .scientifiques. Ses inventions mécaniques n’ont pas été toutes décrites par lui dans ses livres, soit qu'il dédaignât de les transmettre h la postérité comme peu dignes de son génie, soit que ses traités où il en fait question ne nous soient point parvenus. Nous commencerons donc par mentionner les inventions principales qu'on lui attribue, pour passer ensuite à l'examen de ses ouvrages.

Nous avons donné, d’après Plutarque, la description des machines de guerre qu’.Archimède construisit pour la défense de .Syracuse. Les descriptions de Plutarque, comme celles qu’en ont données Polybe et Tite-Live, sont tout à fait insuffisantes ; mais comme .Archimède n’a rien écrit lui-même sur ces mêmes machines, nous ne pourrons nous étendre sur ce sujet.

(1} Tufrulunn.

AlîCHIMKDK

Parmi toutes ces niaohines il eu est une sur laquelle les modernes ont beaucouj) discuté : nous voulons parler des miroirs ardents.

Descartes et d’autres physiciens se sont posé cette question : Archimède parvint-il réellement à incendier la flotte romaine, au moyen de miroirs ardents?

Polybe, Tite-Live et Plutanpie ne disent rien de ce fait. .Hais les savants Héron d’Ale.xandrie , Diodorc de Sicile et Pappus l'affirment positivement.

Tout compensé, les autorités, de part et d'autre, sont à peu près également anciennes. Héron d'Alexandrie vivait avant Polybe ; Diodorc et Tite-Live étaient contemporains, et Pappu.s est postérieur à Plutarque.

L’ouvnage de Héron où il était question du siège de Syracuse, a disparu; raiiis il existait encore au douzième siècle, et les passages dans lesquels il était spécialement question du miroir d’.Archimède, ont étii consultés par Zonaras et Tzetzès, écrivains de ce temps.

Zonaras, qui n'était pas assez iii.struit pour inventer quoi que ce fût en physique, raconte, d'après les anciens, l'incendie de la flotte romaine par Archimède, au moyen, des rayons solaires rassemblés et réfléchis par un miroir. H ajoute que Proclus, à l’exemple du grand géomètre de Syracuse, se servit de miroirs il’airain pour brûler, devant Constantinople, la flotte de Vitalien, sous l’empereur Anasta.se, l’an 511 de Tère chrétienne.

Tzetzès, s’appuyant sur le.s mômes autorités, explique ainsi le mécanisme des miroirs ardents ;

• Les vai.ssranx de MaiTellu.s, ilit il, «'étaient éloignés à la poitée du trait, lorsque Archimède fit jouer un miroir hexagone, composé de iilusinucs autres plus jætits. qui avaient chacun vingt-(|uatre angles, et qu'on jiouvait mouvoir à l'aide de leurs charnières, et de certaines lames de métal. Il plaqa ce miroir de manière (pie le méridien d'hiver et d'été le coupait en son milieu, en sorte (pie les rayons du soleil, reçus à la surface de ce miroir, venant à se briser, allumèrent un grand feu qui ri’diiisit en cendres les vaisseaux des Romains, bien qu'ils fussent éloignés de la portée du trait. »

Charles Bossut, savant géomètre, rapporte ces faits dans son Â’.isai sur l'histoire des mathématiques. 11 les admet comme vrais, sans s’occuper de la far;on dont ils sont expliqués par

Tzetzès. La mobilité des vaisseaux ne lui parait pas un obstacle insurmontable à l’action des miroirs; il ne la considère pas comme une objection concluante.

Le Père Kirrher, dans un ouvrage intitulé Ars magna lucis et umhra, dit tpril fit lui-même construire un miroir, d'après la description donnée par Tzetzès. Il ajoute qu’a>i moyen de ce miroir il produisit une chaleur considérable.

En 1747, Buflbn fit construire un miroir composé de 168 glaces planes, munies de charnières, pour renouveler l’expérience du Père Kircher. Au mois d'avril, par un soleil assez faible, il réussit à embraser du bois, placé à une distance de 150 pied.s, et à fondre du plomb à 140 pieds.

En 1777, Dupuy, membre de l'Académie des belles-lettres, publia la traduction d'un fragment d'.Anthémius qui met hors de doute le fait attribué à Archimède.

Cet Anthémius était un homme fort savant en mathématiques et en mécanique. Il vivait .sous .lustinien. Il construisit, eu partie avec Isidore, en partie seul, la fameuse basilique de .Sainte-Sophie, à Constantinople.

-Anthémius commence par faire observer qu’Archimède ne put employer un miroir concave : 1“ parce qu’un tel miroir aurait dû être d’une grandeur démesurée; 2“ parce que, pour faire usage de ces sortes de miroirs, il faut que l’objet qu'on .vent brûler se trouve placé entre le miroir et le .soleil ; et que la position des vaisseaux romains, relativement à la ville de Syracuse , excluait cette disposition. Il explique ensuite le mécanisme des miroirs employés par Archimède , à peu près comme fait Tzetzès et comme liulTon Ta exécuté.

Du concoui-s et de la comparaison de toutes ces autorités, il résulte, selon nous, que c’est avec raison que l’on attribue à -Archimède l’emploi des miroirs plans ou concaves, pour gêner, sinon incendier, la fiotte de Marcellus.

Passons une autre invention d'.Archimède.

Plusieurs écrivains, entre autres Cicéron et Claudien, parlent avec admiration d'une sphère céle.ste construite par le géomètre sicilien. Cette .sj)hère, mue par un mécanisme ingénieux, représentait les mouvements des astres, dans les rapports de leurs vitesses respectives. Delambre rapporte le passage do Claudien, et en tire cette conclusion :

ARCHIMKDK

0 II est donc certain que ce planétaire exposait, non-seulement les mouvemenLs du soleil et de la lune, mais cj?liii de la sphère étoilée. Il n’est pas aussi clair, ajoute-t-il, que les planètes y fussent représentées ; mais rien n’empèclie île croire qu’Archimède a ))U les y faire marcher suivant leura mouvements moyens i peu près connus ; c'est ce que pourrait indiquer le vers •

« /nelusus mriis fiwiulatur spirilus asirit (1). a

On a attribué à Archimède l'idée première d’un orbite hyârattliqut. Mais on regarde aussi Ctésibius comme l’auteur d'une machine ou d’un in.strument du même genre.

Archimède fit construire pour Iliéron, un -vaisseau immense, dont Athénée nous a laissé la description. Il n’est pas impossible que ce vaisseau eût pour agent moteur une hélice (vi.s d’Archimède).

Tzetzès et Onbase (2) parlent d’une machine inventée par lui, et qui permettait de soulever des poids énormes. Il est probable qu’Archimède avait exécuté un grand nombre do machines de ce genre, et qu'il en avait beaucoup varié les dispositions.

Les anciens attribuaient, en outre, à .Archimède quarante inventions mécaniques, au nombre desquelles se trouvaient la fameuse vis, le miroir ardent et la multiplication des poulies, les seules que nous connaissions et dont nous avons parlé plus haut.

11 est certain pour nmis que d’autres inventions, appartenant à .Archimède, ont été publiées, après lui, avec quelques modifications de forme, et privées du nom de leur véritable inventeur. .Si l'on supprimait tous les objets d’art pratique et d'industrie qui nous sont venus de l’antiquité, à travers mille fluctuations sociales, et si notre siècle se trouvait exclusivement réduit, en tout genre, i ce qui lui appartient en propre, il serait peut-être un peu moins fier de la grande supériorité qu’il s'attribue sur les siècle.s précédents.

Passons k l’examen dos ouvrages laissés par .Archimède, ou du moins de ceux qui sont parvenus jusqu’à nous.

Il nous reste d’Archimède les traités suivants :

De la, Sphireet du Cylindre; — de la Mesure du cercle; —

J) Hûtoire df l'aétronomie tma>nne, Pari*, 1807. Tome 101,

2} De Machin., X\yi,

(/es Conoïdes el des Sphéroïdes; — des Hélices; — de l'Équilibre des plans, ou de lents Centres de grarité; — de la Quadrature de la parabole; — de V Arinaire; — des Corps qui sont portés sur un fluide; — des Lemnies.

Le premier livre de la Sphère et du Cylindre commence par une lettre d'Archimède à Dositliée. Archimède annonce qu’il a terminé les démonstrations de plusieurs théorèmes, parmi lesquels se trouvent les suivants :

- La surface de la sphère est égale au quadniple d’un de ses grands cercles.

•• Un cylindre dont la base est égale à un grand cercle de la sphère, et qui a pour hauteur un diamètre de la sphère, est égal à trois fois la moitié de cette même sphère. » Etc.

O Quoique ces piopriétés, ajoute A i cliimédo, existassent essentiellement clans les ligures dont nous venons de parler, elles n’avaient point été remarcpiées jisr ceux qui avaient cultivé la géométrie avant nous. Ceijcndant, on reconnaîtra facilc-mcnt la vérité de nos théorèmes, quand on aura lu attentivement les démonstrations <pie nous avons donnéc's. Il en a été de même de plusieurs choses cpi'Eudoxe a considérées dans les solides, cl tpii ont été admises comme les théorèmes suivants ;

» Une pyramide est le tiers d’un )irisme de même hase et de nu'me hauteur. Un.cone est le tiers d'un cylindre do même liasc et de même hauteur que le cène. Ces propriétés existaient ccssentiellement dans les figures; et (|uoiquc, avant Eudoxe, il eût |caru plusieurs géomètres qui n'étaient jioint à dédaigner, ces propriétés étaient pourtant restées inconnues, personne encore n'était panenu à les découvrir.

O Au reste, il sera |iermis à ceux rpii le pourront d'examiner ce que je viens de dire. Il eût été à désirer que mes découvertes eussent été publiées du vivant de Conon (astronome et géomètre de Samo.s, établi dans l’école d'Alexandrie) ; car je pense qu'il était tré.s-cai>able d'en prendre connaissance, ayant présumé qu’il était bon de les faire connaître à ceux ipii cultivent les inathématiipies ; je te les envoie appuyées de leure démonstrations. Les jicrsonnos versées dans cette science isiurront les examiner à loisir. — Porte-toi bien. »

Cette lettre prouve, non pas que, du temps d'Eudoxe, on n’avait aucune luéthode pour évaluer les solides; mais, seulement, qu’il existe entre les solides certains rapports qu'on n’avait pas encore remarqués.

Avant d’entrer en matière, Archimède donne ses axiomes. ses définitions, et les principes sur lesquels reposent ses démonstrations.

Le premier livre de la Sphère et du Cylindre renferme cin-

AIÎCHIMEDK

quante propositions. La manière dont elles sont posées, et surtout l’ordre suivant lequel elles s’enchaînent les unes avec les autres, donnent à la méthode du géomètre de Syracuse un caractère tout particulier. Notre langue géométrique ne correspond pa.s exactement à celle des anciens, .soit parce que nous voyons le.s mêmes ohjet.s d’un point de vue dilTérent, soit parce que, dans nos comparaisons, nous ne considérons pas précisément les mêmes termes, soit encore peut-être parce que, dans nos études, nous nous proposons un autre but.

Il y a, dans ce premier livre, une foule de propositions curieuses que nous ne pouvotis citer, parce que, sans le secours des figures, elles seraient inintelligibles pour des lecteurs étrangers à la géométrie des anciens. Les méthodes modernes , en conduisant notre esprit par des routes difl’érentes, ont rendu la plupart de ces propositions inutiles pour nous. Toutefois, nous nous permettons de penser, avec Newton, avec Montucla et d’Alembert, que les géomètres qui se proposent de composer des traités élémentaires destinés à l’enseignement, se trouveraient bien, avant de prendre la plume, de lire avec, attention Euclide et Archimède. Ils y trouveraient une méthode de déduction et d’enchaînement, une clarté d’exposition et de raisonnement, et surtout une rigueur géométrique dont notre génération tend à s’éloigner de plus en plus, au grand détriment de la science et de renseignement.

Le traité de la Mesure du cercle est fort court. Il ne renferme qu’un petit nombre d’énoncés, suivis de leurs démonstrations. Archimèile inscrit et circonscrit successivement des polygones réguliers de l, 8, Id, 83, etc., côtés, comme on fait encore aujourd’hui , et il emploie la démonstration par Yalsurde. 11 prouve, plus rigoureusement qu’on ne fait aujourd’hui par la méthode des limites, que le cercle est équivalent à un triangle rectangle dont l’un des côtés de l’angle droit est égal au rayon, et l’autre côté de l'angle droit égal à la circonférence développée en ligne droite. Il montre que la circonférence est égale au triple du diamètre, plus une certaine portion du diamètre com- )iri.se entre les ÿy et les du diamètre, c’est-à-dire que le rapport .y trop grand, et que le rapport -îyÿ est trop petit.

Le traité des Conoïdes et des Sphéroïdes est assez étendu. Il commence par cette lettre :

« Ai'cliimé<le à Dfisitliéf', salut. Je t’envoie, clans ce livre, non-seulement le.s démonstrations c|ui ne se trouvaient pas pai-mi celles qui m'ont été adressées, mais encore celles d'autres théorèmes que j'ai d&ouverts dans la suite, et qui ont tenu longtemps mon esprit incei-tain, |)arce que, upiés les avoir examinés à ]>lusieiirs reprises, j'ai trouvé i|u'il présentaient beaucoup de diliiciiltés. Voilà pourquoi ces théorèmes n’avaient pas été donnés avec les autres. Mais, après les avoir de nouveau considérès avec plus de soin, j"ai trouvé les solutions qui m'avaient échappé, etc. »

Cette lettre, assez longue, renferme des données précise.s et tout à fait générales, .sur l'état où ,se trouvait une partie imporlante des mathématiques pures dans le temps où vivait Archimède.

Le traité des Candides et des Sphéro'ides ne renferme que ' trente-quatre propositions démontrées. Ce n'est pas assurément tout ce que les anciens géomètres connaissaient sur cette matière. Les ouvrages que nous avons d’.Archimède en supposent d'autres plus élémentaires, sur lesquels il s'appuie.

ün en trouve la preuve dans plusieurs endroits de ses ouvrages. Par exemple, dans la quatrième proposition du traité dont nous parlons, après l'énonciation d'un principe, il ajoute : Ce qui est démontré dans les liléments des sections coniques. Or, nous n'avons point ces Eléments.

Les ouvrages que nous possédons d’Archimède ne renferment guère que ses propres découvertes. S'il fait usage de celles lies autres, c'est pour les confirmer par des démonstrations nouvelles qui sont à lui. Il est certain que dans l'antiquité, l'art de la démonstration mathématique avait été porté à un trèshaut degré de perfection. Il suffit, pour s'en convaincre, de lire Euclide, Archimède et Apollonius de Perge.

Le traité des Hèlkes est précédé d'une lettre adressée à Dosithée. Il comprend vingt-huit propositions. Les /«i/ices sont des courbes en spirale, d'un ordre particulier. La description de cette partie des travaux géométriques d'Archimède exigerait des développements qui ne peuvent trouver leur place dans eet ouvrage. Nous citeron.s seulement la lettre que l'auteur adresse à Dosithée ;

« Tu me jiries instamment d’éciire les ilémunst rations des théorèmes que j'avais envoyés à Conon. Tu as ih'jà plusieui-s de res dénumstrations dans les livres qu'IJéraclius t’a raiHKniés, et j’en envoie quelques autres qui SC trouvent dans celui-ci. Ne sois [as étonné si j'ai difl'crc si

AUCHIMKDK

longtemps de mettre au jour les démunstratiuns de ces tliéorèmes. La cause en a été c|ue j’ai voulu laisser le temps de les trouver aux |)crsonncs veiaées dans les matliématicpies qui auraient désiré s'occuper de cette recherche. Car combien y a-t-il de théorèmes en géométrie qui pamissent d'alKird ne présenter aucun moyen d'étre connus, et qui, dans la suite, deviennent évidents ! Conon mourut sans avoir eu le temps de trouver ces démonstrations, et il a laissé à ces théorèmes leur obscurité. S'il eût vécu, il les eût sans doute trouvées ; et par ces découvertes, il eût reculé les bornes de la géométrie. Car nous n'ignorons pas que cet homme était d'une industrie et d'une capacité admiiables dans cetb' science. Plusieiii's années se sont écoulées depuis sa mort, et je ne sache pas ceiiendant qu'il se soit trouvé personne qui ait résolu qiiel- (pi'iin de ces pi-oblèmes. Je vais les exjioser tous les uns après les autres. — Archimède. »

Le traité de F Equilibre desplans, ou de leursCeutresde gratité, comprend deux livre.s. Les démonstrations s’appuient sur les principes suivants, déjà établLs :

“ Des graves égaux, suspendus à des longueurs égales, sont en équilibre.

“ Des graves égaux, suspendus à des longueurs inégales, ne sont point en équilibre, et celui qui est suspendu à la plus grande longueur entraîne l’autre.

“ Si des graves suspendus à de certaine.s longueurs sont en équilibre..., " etc.

Dans le premier livre, la .sixième et la septième proposition se réduisent à l’énoncé suivant : « Des grandeurs commensurables ou incommensurables sont en équilibre, quand elles se trouvent su.spendues à des longueurs qui leur sont réciproquement proportionnelles..., - etc.

Le second livre ne renferme que dix propositions, lesquelles ont toutes pour objet le eenlre de gravité dans les segments paraboliqws.

Archimède a-t-il borné là ses recherches sur les centres de gravité? Le reste de son travail sur cette matière est-il perdu? Ou bien encore, n’a-t-il voulu que compléter, dans des théories déjà faites, les démonstrations qui' manquaient de rigueur? C’est ce qu’on ignore.

Le traité de la Quadrature de la parabole comprend vingtquatre propositions. Il est précédé d’une assez longue lettre d'.Vrchimède à Dosithée :

« C'est il'alionl, lui ilit-il, jiar des ronsidérations de mécanique, et puis l«r des raisonnements di? géométrie, que j'ai ilécouvert le théorème ipie Je t'envoie, etc. >

Nous regrettons de ne pouvoir citer qu'une bien faible partie de ce que nous trouvons de curieux dans Arcltimède. Tout ce que nous pouvons faire ici, c'est de donner une légère idée de ses travaux. L’objet de cet ouvrage ne comporte pas autre chose.

Dans le traité qui a pour titre V Arènaire, l'autour veut i>rouver, contre l'opinion vulgaire, que le nombre des grains de .sable des mors n’est pas innombrable :

« Je vais te faire voir, écrit Archiméile au roi fîélon, jiar des démonstrations géométiiqui’S, auxquelles tu ne saurais n’fuser ton assentiment, ipie |iarmi les nombres exprimés par nous dans les livres adressés à Zr'uxipiie, il en est (|ui excellent le nombic des giains d'un volume de ■sable égal, non |ms à la grandeur de la terre, mais à celle do l'univers entier, etc. »

Il entre ensuite en matière, et tire de ses propositions des conclusions très-importantes sur le diamètre de la terre, du soleil, etc. Ce traité de rArènaire est extrêmement curieux. Delambre en a donné une anal)-se, à cause de la partie qui se rattache à l’astronomie (1).

'Le iTH\tède.i Corps porl''S sur nn jluide comprend deux livres. Archimède part de l’hj pothèse suivante ; « On suppose que la nature d’un fluide est telle que, ses parties éhint également placées et continues entre elles, celle qui est moins pressée est chassée par celle qui l'est davanta.ge. Chaque partie du fluide est {tressée par le fluide qui est au-dessus, suivant la verticale, soit que le fluide descende, soit qu’une cause le force à passer d’un lieu dans un autre. »

Voici les principales propositions ;

« La surface de tout fluide en repos est sphérique. Le centre de cette surface sphérique est le centre de la terre.

“ Si un corps qui, à volume égal, a le même poids qu'un fluide, est abandonné dans ce fluide, il s’y plongera tout entier, mais il ne descendra {tas jusqu’au fond.

- Si un corps solide j)lus léger qu’un fluide est abandonné dans

1 liittoire de rattronomie tmet^nn#^ tume I, ]Mges 102-105,

ARCHIMÈDE •.>4!l

CO fluide, une partie de ce corps restera au-dessus de la surface du fluide.

•* Si un corps plus léger qu'un fluide est abandonné, dans ce fluide, il s'y enfoncera, jusqu'à ce qu’un volume do liquide égal au volume de la partie du corps baignée par le liquide, ait le même poids que le corps entier.

« Si un corps plus léger qu'un fluide est enfoncé dans ce fluide, ce corps remontera, avec une force d'autant plus grande qu’un volume égal de ce fluide sera plus pesant que ce corps.

« Un corps qui, à volume égal, est plus pesant qu’un fluide, continuera à descendre jusqu’à ce qu’il .soit arrivé au fond. «

Archimède suppose que la verticale passe par le centre de gravité des corps qui , dans un fluide , sont poussés de bas en haut.

Si une grandeur solide quelconque, plus légère qu'un fluide, est abandonnée dans ce fluide, son poids sera à celui d’un égal volume de ce fluide, comme la partie submergée est à la grandeur entière.

“ Si l’axe d'un segment de conoïde parabolique n'excèile pas les trois quarts du paramètre, ce segment, quel que soit son poids, prendra une position verticle, lorsqu'il sera abandonné dans ce fluide. . . » Etc.

■Viennent ensuite plusieurs propositions du même genre, ayant pour objet de trouver deux droites dont les carrés soient dans le même rapport que les pesanteurs spécifiques du fluide et du segment.

Le traité rlex Lemmes renferme quinze propositions. C’est do l’analyse appliquée à des constructions géométriques.

EUGLIDE

L’antiquité grecque a produit plusieurs grands géomètres, dont les plus célèbres sont Archimède, Eiiclide et Apollonius de Perge. Ils nous paraissent avoir été les plus éminents, parce qu’une partie de leurs ouvrages étant arrivée jusqu'à nous, ils sont les seuls dont nous puissions apprécier le mérite. Les écrits des autres mathématiciens étant perdus, il serait impossible de dire aujourd'hui ce qu'ils ont ajouté à la science, et de ilistinguer ce qui peut leur appartenir en propre de ce qu’ils ont emprunté à leurs prédécesseurs. On peut seulement affirmer qu’ils étaient des hommes de génie, et que quelquesunes de leurs découvertes furent le résultat d’une force de tète prodigieuse, ou d'une méthode supérieure qui ne se trouve pas formulée dans ceux de leurs ouvrages qui nous sont parvenus. On voit, par exemple, Archimède, dans son traité des Spirales (qui sont des courbes transcendantes), mener des tangentes, mesurer des surfaces; et Apollonius, dans sou traité des Sections coniques, poser et résoudre les questions de maximis et de celle Aesdételoppèes, etc., comme si leurs théo-

rèmes avaient été découverts antérieurement, au moyen d’une méthode supérieure autre que celle qu’ils employaient pour la démonstration.

Ainsi les sciences mathématiques étaient poussées chez les anciens beaucoup plus loin qu'on ne le peii.se généralement. Cette vérité deviendra, du reste, évidente, par la lecture des vies d'Euclide, d'Apollonius de Perge et d’Hipparque.

EUCLIDE 251

Euclide est le géomètre dont nous avons d'abord à retracer la vie et à apprécier les travaux.

Plusieurs personnages, plus ou moins connus, portant le nom d’Euclide, ont existé dans l’antiquité grecque. On cite Euclide, archonte athénien (cinquième siècle avant J.-C.); — Euclide, médecin (cinquième siècle avant J.-C.); — Euclide, sculpteur athénien (quatrième siècle avant J.-C.); — Euclide le philo.sophe, disciple de Socrate et fondateur de l'école de Mégare (quatrième siècle avant J.-C.); — Euclide. général Spartiate, frère de Cléomène 111, roi de Sparte (troisième siècle avant J.-C.); — enfin Euclide. l'auteur des .^7«ments d'aritJméiique et de géométrie.

Ce dernier est le plus célèbre. On l’a quelquefois confondu avec le fondateur de l’école de Mégare, bien qu'ils n’aient pas été contemporains, et qu'ils aient différé l’un de l’a,utre autant par leur genre d'esprit, et leurs aptitudes propres, que par la nature de leurs travaux.

11 est parfaitement établi qu’Euclide, le géomètre, vivait dans le troisième siècle avant notre ère, car les anciens auteurs qui sont entrés dans quelques détails sur la fondation de l’école d’Alexandrie, le citent parmi les premiers savants que la munificence du fondateur, Plolémée 1", attira dans le Muséum de cette ville célèbre.

Mais on en e.st réduit à do simples conjectures relativement à l'époque et au lieu de sa naissance. Proclns (1) se borne, sur ce point, à nous dire qu’Euclide était contemporain du premier Ptolémée, c'est-à-dire de Ptolémée Soter, ou le Sauteur. Or, ce prince mourut deux cent quatre-vingt-trois ans avant J.-C.

Les historiens arabes nous ont appris qu'Euclide était né en Syrie, dans la ville de Tyr, et que son père, nommé Naucrates, était un Grec (jui, après avoir habité Damas, s'était fixé à Tyr.

Dans son Histoire des mathématiques, Montucla conteste la valeur de ce témoignage. Les historiens arabes, comme ceux de tous les pays, ont souvent, il est vrai, commis des erreurs; mais faut-il croire qu’ils se soient toujours trompés? Il n’y a rien d’invraisemblable dans ce qu’ils rapportent de la famille

(1) Eucl. Ub. Il, c«p. IV.

•d’Euclide. Sans vouloir nous engager ici dans aucune question relative à la race hellénique, nous pouvons rappeler qu’à l’époque dont il s’agit, un grand nombre de familles grecques étaient établies depuis des siècles dans l’Asie Mineure.

Issu de l'une de ces familles grecques, Kuclide fut, sans doute, envoyé à Athènes, dans .sa première jeunesse, poury étudier les mathématiques. Nous sommes d'autant plus fondé à faire cette supposition, qu’il est certain qu'Euclide habita la Grèce, qu'il y fut regardé comme un mathématicien liabilc ; et que, pourtant, bien que d’origine gi-ecque, il semble y avoir vécu en étranger. Pourquoi ne pas s'en tenir au récit des historiens arabes, puisqu’on n’a, pour les contredire, aucun fait à leur opposer? L’école de Platon avait produit, à Athènes, des talents de premier ordre. On y cultivait avec zèle les études mathématiques. La renommée de l’Académie et du Lycée s’était répandue hoçs de la Grèce proprement dite, dans tous les pays fréquentés par les Grecs. Beaucoup d’étrangers devaient donc envoyer leurs enfants à Athènes, i)our y étudier les éléments <les arts et îles .sciences. Le père d’Euclide, établi dans l’.Asio Mineure, put être d’autant plus porté à suivre cet exemple, qu’il était lui-môme sans doute d’origine grec<iue.

Nous n’émettons ici qu’une conjecture, mais elle repose sur une considération sérieuse, c’est-à-dire sur l'opinion des historiens arabes, lesquels, beaucoup plus rapprochés (|iie nous des temps où vivait Euclide, pouvaient être instruits sur c.ette question, non-seulement par des traditions encore existiintes, mais aussi par d’anciens écrivains, dont les ouvrages ne nous sont point parvenus.

En ce temps-là, vivait en Egt pte un roi qui devait fonder une dynastie d’un grand renom : c’était Ptoléniée Soter. .Nous n’avons pas à raconter le règne de ce prince, ami des sciences, des lettres et des arts. Il nous suffira de rappeler que c’est ce monarque éclairé qui conçut et réalisa la grande pensée d’arracher la science aux sanctuaires secrets des temples égyptiens, et de la produire au grand jour. Ptoléniée Soter voulut créer, au sein de ses Etats, une école scientifique et idiilo.sophique, qui se montrât la digne rivale des écoles européennes de Platon et do Pythagore. Par ses ordres, s'éleva sur les rivages heureux qui s’étendent en face de la Grèce, cette Aca-

El’CLIDK

dninie devenue immortelle sous le nom à'Ecole d' Alexandrie.

Ptolémée Soter invita Euclide à se rendre à Alexandrie, pour y occuper un poste éminent; car il s’agissait de la formation d’une Académie supérieure et de l’organisation générale de l’enseignement dans la nouvelle école.

Il est probable qu’Eucliile s’était déjà fait connaître par quelques travaux importants en géométrie, lorsqu’il fut appelé dans l’Académie naissante d’Alexandrie, ün trouverait dans les archives du Muséum d’Alexandrie, si elles existaient encore, la plupart des renseignements dont nous aurions besoin pour écrire la vie de l’illustre géomètre. Nous saurions, grâce à ces documents, en quel lieu se trouvait Euclide quand il fut appelé par le souverain de l’Egypte; comment sa réputation s’était faite, et l’àge qu’il avait lorsqu’il se détermina à quitter la Grèce, pour pntrordans l’école d’Alexandrie.

C’est par de pures inductions que nous admettons, avec Montucla (1), qu’Euclide avait étudié à Athènes, sous les disciples de Platon.

Nous fondant sur les usages établis à Athènes dans l’enseignement public, nous supposons encore qu’après avoir terminé ses études il s’était exercé à faire des leçons publiques, et qu’encouragé par ses premiers succès et par le nombre toujours croissant de ses disciples, il résolut de se livrer tout entier à l’enseignement des mathématiques.

Ses Eléments de géométrie prouvent qu’Euclide avait profondément médité sur les méthodes d’exposition.

I Dans la métlimle ([u’il adopta pour sa géométrie, il mit, noua dit Montucla, cct enchaînement si admiré |iar les amateurs do la ligumiigcométi iipie, et qui est tel (pi'il n’y a aucuno proposition qui n'ait des rapports nécessairgs avec celles qui la précédent ou qui la suivent. »

C’est que, dans sa carrière de professeur, Euclide avait dû soumettre cette méthode à l’épreuve d’une longue pratique; il devait l’avoir perfectionnée en enseignant. Pour composer un bon livre d’enseignement élémentaire, la connaissance des faits et des théories scientifiques ne suffit pas ; il faut encore que les méthodes et les procédés qu’on imagine, et qui appar-

(1) Hittoir* it» 2* t^ition, m-4*, Paris, an VII. Tome Liv. IV.

tiennent à l’art, aient été reconnus efficaces par plusieurs années d'enseignement oral et pratique ; qu'ils aient été appliqués à une longue série d’élèves, d’aptitudes et d’intelligences diverses. La méthode rigoureuse que l’on admire dans le livre d’Euclide prouve, selon nous, que l’auteur avait longtemps enseigné les sciences sur lesquelles il nous a laissé le chefd’œuvre que les anciens et les modernes ont admiré tour à tour.

Plus nous réfléchissons sur la méthode d’exposition suivie dans les Eléments d'arithmiüqne et de géométrie d’Euclide, et plus il nous parait probable que l’auteur professait les mathématiques, soit à Athènes, soit dans quelque autre ville grecque, lorsque des offres sédui.santes lui furent faites au nom du roi Ptolémée. Il devait approcher alors de la fin de l’âge mùr. Sa réputation avait dù se faire lentement, moins par des ouvrages publiés que par son enseignement. Cet enseignement était trop spécial pour avoir beaucoup d’éclat. Mais, dans la Grèce ancienne, les mathématiques étaient considérées comme un des éléments fondamentaux de l’instruction de la jeunesse. On les regardait comme la base de la philosophie. La réponse que le philosophe Xénocrate .avait faite à un jeune homme qui, tout à fait ignorant en géométrie, avait néanmoins osé se présenter dans son cours de philosophie, était devenue proverbiale dans les écoles ;

« Retire-toi, lui .avait-il ilit, car tu manques du point d’appui et de tous les secours qui sont nécessaires pour s’élever à la hauteur de la philosophie (Ij. »

Ainsi, dans la Grèce ancienne, un profes.seur éminent de mathématiques devait .acquérir, assez vite, réputation et honneur.

Pappus nous dépeint Euclide comme « doux, modeste, bienveillant, saisis-sant toutes les occasions d’encourager, par des éloges, les jeunes gens qui aimaient l'étude, portant une affection particulière à ceux qu’il croyait capables de contribuer aux progrès des mathématiques (2). " On peut inférer de ce

(1) Xmarrnten fi çhi nequ^ arithmetira Hfqut geometria instructus^ lu(/um «WHm frtqufHtare cupiebat ; Abi, inquit^ ansit tnim et a^iminicalis philotophùv careji (l>iog. !,iK>rce),

{2)Collfctionei malhematkx, lib. VIT, /VtrmiHm.

EIJCLIDE

tableau qu’Euclide, généralement aimé de ses disciples, devait jouir à Athènes de l'estime publique, et que le bruit de sa renommée avait pénétré jusqu’en Égypte et attiré l'attention du royal fondateur de l’école d’Alexandrie.

Euclide reçut à la cour de Ptolémée, et dans le Muséum, le plus flatteur accueil. On avait déjà conçu et dressé le plan d’un vaste système d’enseignement. Il s’.agissait de distribuer entre tous les savants et les professeurs de r.àcadémie, les diverses parties élémentaires qui devaient en former la base. Il fallait s’occuper aussi de composer des traités élémentaires de grammaire, de musique, d’astronomie, d’arithmétique, de géométrie, etc.

Dans cette di.stribution des matières à traiter, les éléments d’arithmétique et de géométrie échurent naturellement à Euclide. Ptolémée lui recommanda, par-dessus tout, de les rendre aussi clairs, aussi précis, aussi simples qu’il était possible.

Quand son travail fut terminé, Euclide le présenta au roi, dans une audience solennelle. Ptolémée, .accoutumé à prendre, autant qu’il le pouvait, connaissance de tout par lui-môme, se disposait à le parcourir, comme une œuvre purement littéraire. Etranger aux études mathém.atiques, il ne se doutait pas que, pour comprendre le plus simple traité rie géométrie, il faut une préparation élémentaire , qui exige beaucoup d’attention, mais qui n’est pourtant ni longue, ni difficile. Il faut s’ôtre attaché d’abord à saisir parfaitement les premières définitions, à retenir le sens précis de chaque terme technique, et à voir comment les prt>positions naissent les unes des autres, comment elles s’enclminent entre elles, de telle façon que chacune trouve sa raison d’être et sa démonstration, soit dans celles qui la précèdent, soit dans les définitions premières. Tout Tart géométrique, pour ainsi dire, se résume dans un petit nombre de pages. Voilà pourquoi il importe de beaucoup insister sur le commencement ; le reste n’est qu'une sorte de développement, qu’on s’h.ahitue bientôt à suivre, sans effort et sans fatigue, dans un bon traité élémentaire.

Ce sont là des vérités bien simples et bien connues. Mais le souverain de l’Égypte était à cent lieues de s'en douter. De là son étonnement de ne pouvoir comprendre, à première vue, et

VIES DES SAVAKTS ILLUSTIfES

l>ar une lecture rapide, le traité que lui présentait le professeur <lo sa nouvelle école.

Ne pouvant parcourir les EUiueiits d’Euclide comme on parcourt un traité de grammaire, il dit au .géomètre :

« N'exi.ste-t-il pas, pour apprendre la géométrie, quelque chemin moins épineux que celui qu’on suit d’ordinaire ? »

Euclide répondit en souriant :

“ Non, prince, il n'existe en mathématiques aucun chemin fait exprès pour les rois (1). •>

Cette réponse montre, d’un côté, qu'Euclide n’était pas courtisan, et de l’autre, que Ptolémée ne trouvait pas mauvais que les savants de son Académie s'entretins.sent familièrement avec lui.

On peut douter qu’un savant de l’Académie de Derlin eût osé faire au roi de Prus.se, Frédéric, une pareille réponse. .Sans doute, le grand Frédéric laissait aux académiciens qu’il invitait à ses soupers, une assez grande liberté à son égard ; mais il devait être moins bonhomme que le souverain de l’Egj pte.

Les Elànenls d’Euclide furent admis dans le Mu-séum d’Alexandrie , et enseignés dans cette école, à peu près tels que nous les avons aujourd'hui. Mais il est probable qu'Euclide, qui faisait des cours de mathématiques dans le Muséum, ne borna point son enseignement oral aux seules matières contenues dans ses Eléments. Cet ouvrage n’avait, en effet, pour objet que d’initier les élèves à la connaissance des principes sur lesquels repos;iient alors la philosophie et les théories des arts. Il était fait pour les commençants. Les diverses propositions qui s’y trouvent, étaient connues de temps immémorial. De toutes les choses qu’il renferme , la seule peutêtre qui appartint on propre à l’auteur, c’était la méthode d’exposition et d'enchaînement. Ce qu’on savait alors en mathématiques s’étendait bien au delà des Eléments d’Euclide.

Euclide est l’auteur d’un autre ouvrage de mathématiques, intitulé Data. Il est probable qu’il exposait dans les différents cours qu’il faisait au Muséum ses Data, qui, selon Montucla, .sont une continuation de ses Eléments, et un premier pas vers la géométrie transcendante.

(1) iVon tst rrgiit ad mathfmaticam i ia.

EUCLIUE 257

Delambre (1) a fait une longue analyse des Eléments et des Eata.

Euclide dut aussi faire un cours sur les Sections coniques. Ou avait autrefois de lui, sur cette partie- des mathématiques supérieures, un traité en quatre livres, traité composé d’après celui d’Aristée, géomètre qui vivait environ un siècle avant lui. Ges quatre livres n’étaient peut-être qu’une reproduction écrite de toutes les leçons qu’Euclide avait faites à Alexandrie sur cette matière.

Les trois livres de Porismalibiis, que .Montucla regarde comme le plus profond de tous les ouvrages d’Euclide , formaient aussi une partie de l’enseignement des mathématiques dans le Muséum. Nous verrons plus loin qu'un savant géomètre contemporain, M. Chasles, de l’Institut, a reconstitué ce traité en se fondant sur les lemmes de Pappus.

Il est probable que, dans ses leçons orales, Euclide montrait, par des exemples fréquents, les diverses applications qu'on peut faire des mathématiques pures; et que ces exemples, coordonnés ensuite suivant les spécialités propres des objets auxquels ils se rapportaient, servirent à composer autant de traités différents. Ainsi le livre de Dicisionibus, cité par Proclus, concernait la géodésie ; celui de Phcenomenis renfermait les démonstrations géométriques relatives aux levers et aux couchei*s désastres; celui qui avait pour titre Isa^oge, seu Iniroduclio musica, embrassait tous les principes mathématiques de la théorie musicale; celui qui était intitulé : Specularia et perspecliva, contenait les principes de l’optique et de la perspective, principes sur lesquels, selon Proclus et Théon, Euclide avait écrit. Les fautes et les inexactitudes dont fourmille, selon Montucla, ce dernier traité, prouvent que ce n’était pas l’ouvrage même d'Euclide, mais seulement peut-être une reproduction qu’un disciple ignorant, qui entendait mal le professeur, avait voulu faire de ses applications à l’optique.

Nous ne pouvons savoir si Euclide accrut, par quelque nouvelle découverte, le domaine des sciences mathématiques. Il faudrait posséder, pour cela, tous les ouvrages qui existaient

(1) Hitttiirt dtt l'attronomif ancitnntf t. II.

avant lui, et c’est à peine s’il on est restf^ quelques fragments cités par des écrivains postérieurs à Eiuclide.

Ce qui, dans les divers ouvrages dont nous venons d’indiquer les titres, appartenait en propre à l’illustre auteur des c’était la méthode , la précision , la rigueur mathématique. Quand ou connaît toute l’influence que peut avoir sur le développement des connaissances humaines l’emploi d’une excellente méthode, on trouve qu’à ce point de vue Euclide eut un mérite immense.

De quel intérêt ne serait-il pas pour nous de savoir exactement ce qui se passait dans la célèbre école d’Alexandrie? On ;nmerait à connaître son régime intérieur; on voudrait savoir quels étaient les règlements du .Muséum ; combien d’heures, par semaine ou par mois, chaque professeur était obligé de consacrer à ses leçons; si les cours étaient entièrement libres, ou si, pour y être admis en qualité d’élève, on avait des épreuves à subir, etc. Les anciens écrits qui nous sont parvenus ne nous apprennent rien sur tous ces points.

L’antiquité a négligé de con.server par un monument, par une statue, ou par une simple médaille, les traits du célèbre auteur des Eléments de géométrie.

Nous ne pouvons savoir davantage à quelle époque, en quel lieu, à quel âge mourut ce savant. Tous les anciens auteurs qui parlent des œuvres d’Euclide se taisent sur les particularités relatives à sa personne.

Le gi'and nombre, la nature et l’étendue de ses ouvrages nous autorisent à croire qii’il vécut et qu’il continua même à travailler jusque dans un âge avancé. Nous présumons qu’il mourut à .Alexandrie, qui était pour lui une patrie nouvelle. Il n’est guère probable qu’il eût songé à se retirer dans son pays natal, où il ne pouvait lui rester que des parents d’un degré éloigné.

Les ouvrages qui auraient pu transmettre à la postérité les détails relatifs à Euclide, à Apollonius et aux autres savants illustres de l’école d’Alexandrie, se sont perdus, soit pendant les grandes invasions de l’Egy pte par les .Arabes, soit pendant les guerres des croisades. Les croisés, nos ancêtres, étaient, il faut le dire, beaucoup moins civilisés que les Orientaux de cette époque. Ils détruisirent, en s’emparant des villes, quantité de

EUCLIDli

bibliothèques. Leibnitz a prouvé que les temps qui furent le plus funeste.s aux lettres et aux sciences, ceux où l'on détruisit le plus de livres, furent les douzième et treizième siècles. C’était alors la brillante période des croisades.

Après avoir esquissé la biographie du célèbre auteur des Eléments, nous allons passer à un examen rapide de ses travaux, et donner quelques détails sur ses ouvrages, dont jusqu’ici nous n’avons guère signalé que les titres. Mais, avant d’aborder ce sujet, nous dirons quelques mots de l’état où devait se trouver la science à l’époque où parut Euclide.

La science des mathématiques pures avait fait de grands progrès dans l’école de Platon, et l’on sait que Platon luimême fut un profond géomètre. On lui attribue plusieurs découvertes. Il est, dit-on, le premier qui ait introduit la théorie des sections coniques dans l’enseignement des mathématiques. Aristée, Eudoxe, Ménédème, Dinostrate, et quelques autres de ses disciples, développèrent cette nouvelle branche de la géométrie.

De temps en temps, à mesure que la science faisait de nouveaux progrès, on voyait paraître des traités particuliers, dans lesquels toutes les propositions connues étaient fangées et enchaînées suivant un ordre méthodique. Il existait sans doute, avant Euclide, un certain nombre de ces traités ; mais ses Eléments de géométrie et d' arithmétique firent oublier tous les autres. Aucun ouvrage élémentaire de mathématiques n’a rencontré, en effet, un tel succès. Pendant plusieurs siècles, les Eléments d‘ Euclide furent traduits, commentés dans toutes les langues, et exclusivement enseignés d.ans toutes les écoles.

« C’est sui-tuiit ù ses Élimenls, ilit Miintiida, i|u’Eucli<le duit la célébrité lie Sun nom. Il rassembla dans cet ouvrage, le ineillenr encore de tous ceiuc (le ce genre, les vérités élémentaires de géométrie découvertes avant lui. Il j mit cet enchaînement si admiré par les amateurs de la rigueur géométriipic, et qui est tel, qu’on n'y trouve aucune proposition qui n'ait des ra|jports nécessaires avec celles qui la ]iré<'èdenl ou qui la suivent. En vain divers géomètres, à qui l'ammgement d'Euclide a déplu, ont tâché de le réformer, sans porter atteinte â la force des démonstrations. Leurs efl'orts impuissants ont fait voir combien il esl dillicile de substituer à la chaîne foiméc par l'ancien géomètre une autre

c'Imîno aussi ferma et aussi sulido. Tel était le sentiment de l'illustre Leibnitz, dont l'autorité doit être d'un grand poids en ces matières (1). »

Cette opinion de Montucla sur l'ordre et l’enchaînement adopté par Euclide est celle d’un assez grand nombre de géomètres, môme de premier ordre. Newton disait ; “ Si j’avais un fils dont je voulusse faire un habile géomètre, je commencerais j)ar lui faire étudier les Eléments d’Euclide. « Les Anglais sont restés fidèles à ce jugement.

Cependant une opinion toute différente s’est produite sur le même olijet, en France et ailleurs. Elle a été formulée comme il suit, par un savant géomètre, Lacroix :

t Assurément, dit Lacroix, le fond de tous les traités élémentaires de géométrie se trouve dans Euclide, et il reste le même sous quelque forme qu'on le présente. Mais, en prenant leurs matériaux dans Euclide, les géomètres modei-nes ont souvent changé l'ordre et rencliaîncmcnt des liroposilions. Il est très-vrai que les Eléinmls d'Euclide manquent de cet orilre qui, faisant naître autant que cela se jieut les proiioaitions les unes des autres, met en évidence toutes les analogies qui les lient, soulage la mémoire et pré|)are l'esprit à la rccherclie île lu vérité (2). »

Il est vrai que l’on a quelquefois cherché à prouver que l’ordre et l’enchaînement des propositions par Euclide ne sont pas les meilleurs. Mais il est facile de repousser cette critique. Chez les anciens, les esprits étaient formés aux sciences par des méthodes très-différentes des nôtres. Par suite d’un ensemble de circonstances qui tenaient aux institutions et aux mœurs, leur manière de sentir et de concevoir ne pouvait être la nôtre. Les mêmes idées et les mêmes rapports devaient donc se présenter à l’esprit des anciens, dans un ordre qui ne saurait être identique avec celui que nous regardons aujourd’hui comme le meilleur. Les différences sur ce point correspondent à la différence des langues, et s’expliquent par les mêmes causes. Newton, qui était un très-grand géomètre, trouvait dans Archimède des passages qu’il regardait comme assez difdciles; tandis que Plutarque, qui n’était qu’un moraliste, un homme de lettres, mais

(1) m%the'mjtique$, 2* ûdition, in-4*, I^aris, an VI!, tome I.

(2) Biogroi>hie unietrêflU, article Euclùl*.

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qui , formé par les méthodes des anciens, n’était resté étranger à aucune des branches de l’enseignement public, trouvait Archimède éminemment clair et facile k comprendre.

11 est naturel que, dans les sciences mathématiques, nous préférions nos méthodes à celles des Grecs. Mais ce serait une grande faute que de condamner légèrement les travaux des anciens. La plupart de leurs ouvrages doivent être, pour nous, des termes précieux de comparaison, éminemment propres à maintenir où à ramener l’esprit humain dans la route du beau et du vrai en tout genre, dont il tend sans cesse k s’écarter.

Revenons k Euclide. Il est probable que, pour composer ses Eléments, il remania tous les principes de la géométrie. 11 dut «ajouter à la science quelques propositions nouvelles, et adopter quelque forme encore inconnue de démonstration. Mais quant au fond de la science, il existait de temps immémorial chez tous les peuples civilisés. Si Euclide surpassa et fit oublier ses prédécesseurs, ce fut uniquement p«ar la rigueur de ses démonstrations, par la clarté et la netteté de son exposition, en un mot, par la supériorité de sa méthode.

« Plusieurs géomètres, dit Peyrard, le savant éditeur il'Euclide, ont pensé que la pai tie des éléments qui regarde le cercle et les coiq)S ronils est incompUrte ; c'est une erreur. Tout ce qu'on regrette de ne pas trouver dans Euclide, ne pouvait se démontrer qu'à l'aide de trois principes posés par Archimètle, et qu’Euclùie n'admettait point (!}. «

Les Eléments d’Euclide so rapportent à l’arithmétique et à la géométrie. Ils se composent de treize livres, auxquels, dans la suite , Ilypsiclès , géomètre de l'écolo d’Alexandrie , en ajouta deux autres. Les quatre premiers et le sixième traitent de la géométrie plane; le cinquième, de la théorie des proportions; le septième, le huitième et le neuvième traitent de l’arithmétique ; le dixième, des grandeurs incommen.surables, le onzième et le douzième traitent de la stéréométrie ; le treizième, le quatorzième et le quinzième, des solides réguliers.

(ly Ijya (£utre$ d'Kuclîde ont été publiées de nos jours, à Paris, en grec et en français, par Peyrar«l. Kll^s forment trois Noluraei in-4*.

On avait cru rencontrer dans Knclidc des t>assage4 olmcnrs et diniciles. Peyrard a montré que, dans ces endroits^ le teaio avait dû Ctre altéré par les copistes ; que certaines propositions avaient été déplacées, et que des tlgni-es qui se rapportent à telles de cet propositions avaient été, par onreur, attribuées à d'autres.

« Les coips ifguliei-s, dit Piodus, formaient la ])rincii)ale partie des ÉtMenls d'Euclide. On les étudiait avec beaucoup d’application dans les écoles pythagoriciennes, et il est fort probable qu’ils se liajent avec quelque princi|K.’ essentiel de la doctrine secréte. »

La science pythagoricienne a été jugée par les modernes avec une excessive légèreté. Cependant il n’est pas impossible que, dans la doctrine de Pythagore, les rapports, les proportions , les combinaisons numériques et les principes de la géométrie fus.sent appliqués, comme ils le sont chez nous, depuis Kepler, Descartes et Newton, à une détermination précise des lois générales qui régissent le monde physique. L étude géométrique des corps réguliers, par exemple, sur lesquels Euclkle a tant insisté, pouvait se rapporter à- la cristallisation. Dans notre chimie actuelle, les formes cristallines sont au nombre des principaux caractères qui servent à distinguer les corps les uns des autres. Ainsi l'étude des formes géométriques, qui était regardée comme si importante dans les écoles de l'antiquité, était peut-être relative aux formes variées qu’affectent, dans leurs groupements moléculaires, les corps qui passent naturellement de l'état liquide à l’état solide.

U Parmi les livres d’Euclide, dit Montucla, il en est luïil, savoir: les six premiers, le dixième, et le onzième, dont la doctrine est absolument nécessaire : elle est, à l’égard ilu reste de la géométrie, ce que la connais.sance est à la lecture et à l’écriture, I.es autres livres sont réputés moins utiles depuis que l’aritlimétique a ehangé de face, et que la théorie des incouwieiuurables et celle des solides réguliers ii excitent guère l’attention des géomètres. »

Dans les EUmtnts d'Euclide, le septième, le huitième et le neuvième livre traitent de l’arithmétique , non de cette arithmétique vulgaire qtii a pour objet la simple pratique du calcul, mais de celle qui nous révèle les propriétés relatives des nombres, propriétés qu'il est indispensable de connaître dans une foule de recherches.

On trouve dans le dixième livre une théorie très-approfondie des quantités incommensuralîes. On dit que deux quantités de même nature sont incommensurables entre elles, lorsqu il n'existe aucune unité qu’on puisse prendre pour leur commune mesure, et qu’il est par conséquent impossible d’assigner exactement leur rapport en nombre. Par exemple, la diagonale et

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le côté (lu carré sont incommensuraliles ; car, si l’on divise le côté en parties égales, chacune de ces parties, entrant nu nombre exact de fois dans le côté, pourra servir à le mesurer; mais aucune des parties exactes du côté n’entrera exactement dans la diagonale, et ricetersà, de sorte qu’il estabsolumentimpossible de trouver deux nombres dont le rapport par quotient soit jiarfaitement le môme que celui du côté du carré avec la diagonale, bans le cercle, le rapport du diamètre à la circonférence développée en ligne droite ne peut être, non plus, rigoureusement évalué en nombres. C’est à cause de cette incommensurabilité qu’on ne peut obtenir la véritable quadrature du cercle, c’està-dire un carré qui soit rigoureusement équivalent à la surface du cercle, chose d’ailleurs peu importante dans la pratique, puisqu’on en approche autant qu’on le veut.

Euclide examine en cent dix jiropositions les différentes espèces et les différents ordres A’incommensurahilitê. On peut supposer, d’après cela, que d’immenses travaux en ce genre avaient déjà été faits avant lui. On regarde comme très-ingi'>nieuse la démonstration qu’il a donnée de l’incommensurabilité du côté du carré avec sa diagonale. Euclide montre que, dans le carré, le nombre qui exprimerait le rapport exact du côté à la diagonale devrait être en môme temps pair et impair, chose évidemment impossible.

Rien n’est plus propre que les mathématiques à donner une id(*e préci.se de la différence qui existe entre notre manière de raisonner et celle des anciens. Il n’est pas moins curieux qu’instructif de voir jusqu’à quel point les routes qui conduisent aux mômes vérités peuvent différer les unes des nutres.

La théorie des co/ys réguliers ne paraît qu’ébauchée dans le treizième livre. Mais dans le quatorzième et le quinzième, attribués à Hypsiclès d’Alexandrie, cette théorie est approfondie.

Parmi les ouvrages d’Eudide, le plus connu, après les Eléments, ce sont les Data (données). On désigne par ce mot des quantités connues qui, ayant avec d’autres des rapports qu’on ne connaît pas, dos rapports déterminés, peuvent conduire, par des relations et des raisonnements analytifiues, à trouver les quantités inconnues. Exemple : le rayon d’un cercle étant donné, évaluer approximativement la circonférence de ce

cercle, sa surface, ainsi que la surface et le volume de la sphère que le cercle décrit en effectuant sur son diamètre une révolution entière.

Il y a dans les Data une centaine de propositions qu’on peut regai’der comme autant d’exemples curieux de l’analyse géométrique des anciens. Newton en faisait un très-grand cas, et Montucla les considère comme les premiers pas faits vers la géométrie transcendante.

Les JÎ'li'ments et les Data ne sont pas les seuls ouvrages d’Euclide. Il en avait composé beaucoup d’autres, dont la plupart sont perdus ou n’existent plus en grec. On a encore sa. Division de l'échelle harmonique, ou traité de la Musique; les phénomènes céle.stes ov.\' Optique , \aCatoptrique. Nous ne possédons pas son livre sur les Divisions, ni ses quatre livres sur les Sections coniques, ni ses deux livres sur les Lieux plans, ses deux livres sur la Perspective, ni le traité sur les Apparences.

Le traité des Porismes est également perdu ; mais de nos jours, comme nous l’avons dit, M. Chasles a reconstitué cet ouvrage, d’après la notice et les Lemmes de Pappus.

L’ouvrage que M. Chasles a consacré à rétablir le traité perdu d’Euclide a pour titre : Les trois livres des P or mues d'Euclide, rétablis pour la première fois, d'après la notice et les Lemmes de Pappus, et con formément au sentiment de R. Sinison sur la forme des énoncés de ces propositions (1).

Nous allons prendre dans ce livre remarquable tout ce que nous pourrons dire ici sur \eaporis7nes.

« Parmi les ouvrages de matliémati(|iics grecs qui ne sontisiint parvenus jusqu’à nous, aucun, dit M. Chasles, n'a plus excité les regrets et la curiosité des géomètres des siècles derniers que le traité (1rs Porismes d'Euclide. •

Cet ouvrage ne nous est connu que par la notice qu’en a donnée Pappus, dans le septième livre de ses Collections mathématiques, et par une très-courte mention de Proclits, dans soit Commentam sur le premier livre des Eléments d’Euclide.

Pappus, mathématicien d’Alexandrie, florissait vers la fin du quatrième siècle de notre ère. Il était séparé d'Euclide par

(l) In-8. Paris, 1B60.

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un intervalle de six à sept siècles; mais on possédait encore à cette époque tous les ouvrages du gi'and géomètre. Pappus composa, sous le titre de Collections mathématiques, un ouvrage en huit livres, dont malheureusement les doux premiers n’existent plus. Dans cet ouvrage il fait connaître diverses recherches des anciens sur toutes les jjarties de la géométrie, sur la mécanique, etc.

La notice do Pappus renferme deux définitions de ce genre particulier de propositions qu'Euclide a nommées porismes, et une trentaine d'énoncés qui s’y rapportent; mais, ajoute M. Cha.sles, le fout en termes concis et obscurs, dont les géomètres, à diverses époques, depuis la Renaissance, ont vainement cherché à pénétrer le sens.

R. Simson, dans son Traité des Porismes (traité composé d'après la notice de Pappus), donne la définition suivante : Le porisme est une proposiCioii dans laquelle on a à chercher la chose proposée (1).

La chose ou les choses données peuvent être des granrleurs ou des quantités, des lignes ou des nombres ; ou bien la position d’une ligne, considérée comme //««géométrique; ou bien encore, la position d’un point par lequel passent une infinité de lignes regardées comme variables; ou bien, enfin, la position d’une courbe à laquelle toutes ces droites sont tangentes.

La circonférence du cercle est le lieu de tous les points, en nombre infini, qui se trouvent également éloignés d’un point unique appelé centre; la courbe elliptique est le lieu d’une série infinie de points, tels que la somme des distances de chacun deux points fixes appélés/oyers est égale à une droite constante appelée grand axe; la courbe parabolique est le Heu d’une infinité de points tels que chacun est également éloigné d’un point fixe appelé foyer et d’une droite déterminée de position ajipeléo directrice, etc.

Pappus dit que les lieux sont des porismes. Or, à l’égard des lieux, il n’y a nul doute, puisque la forme do leurs énoncés nous est parfaitement connue par les nombreuses propositions des lieux plans d’Apollonius de Perge, que Pappus nous a

(1^ Dhtrwxl rfffff* guo dlifMtJ ttt demoiutranâum \ probUma

rfro quo aliqitid id pr<tp<itilum fft eonêtrufndum ,• ponma ttn> qw> aliquid propoiitvm fsse inv^stigonJum . —[De 317.)

tratismises. Par là, Pappus a donné un moyen de vérifier la définition précédente des porismes, et de rechercher jusqu'à un certain point la nature dos cent soixante et onze propositions qui formaient les trois livres c/«.ç Purismes d’Eiiclide.

Selon Pappus, les porismes ne sont, quant à la forme, ni des théorèmes, ni des problèmes : ils constituent un genre intermédiaire. On en conclut que, dans Euclide, les propositions appelées porismes devaient participer tout à la fois de la nature dos théorèmes et de celle des problèmes. Le.s porismes, tels que Simson les a définis, satisfont à cette condition. Les lieux sont donc des porismes, ainsi qne Pappius le dit formellement.

Euclide désigne par le môme mot irofiT.ua {porismes) et les corollaires des éléments et les propositions de ses trois livres fies Porismes. Cela conduit, dit M. Chasles, à faire un rapprochement naturel entre les porismes et les corollaires. Or les corollaires sont des propositions qui se concluent immédiatement, soit de l’énoncé d’un théorème, soit d'un passage de la démomstration de ce théorème, soit d’un raisonnement qui conduit à la solution d’nn problème; et l’on peut dire, en général, que les corollaires constituent des propositions qui dilTèrent de celles d’où on les conclut, mais qui, au fond, les reproduisent sous une autre forme, ainsi qu’on peut le voir dans les Eléments. Les porismes prennent leur origine dans des théorèmes déjà connus dont on change la forme. Les porismes on corollaires sont, comme dit Proclus, une sorte de ijain fait en passant, et dont on profite.

Les trois livres des Porismes rétablis par M. Chasles se rapportent à la géométrie plane. Ce .sont comme autant de problèmes qui pourraient être donnés, à titre d’exercice, dans les cours de géométrie. 11 ne s’agit que de la ligne droite et du cercle. Voici deux énoncés que nous prenons au hasard :

“ 1° Etant données trois droites passant par le même point, si autour de deux points Jxes déterminés, on, fait tourner deux droites qui se coupent sur l'une des trois premières et rencontrent respectirement les deux autres, chacune en un point désigné, la droite qui joint ces deux derniers points passe par un point donné.

- 2° Etant donnés deux cercles et deux points sur leurs circonférences, on peut trouver un point tel que les droites menées

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de ce point aux deux points qui sont donnés sur la circonférence, serrent à former un triangle donné. »

Ces deux énoncés se rapportant à des figures que nous ne pouvons reproduire ici, nous avons été obligé de les modifier légèrement. Mais ils suffisent, tels qu’ils sont, pour donner une idée du genre de propositions que renferment les porismes d'Euclide, reconstitués par M Chasles, le savant professeur de la Sorbonne.

On nous pardonnera cette courte excursion sur le terrain des mathématiques. Comment parler d’Euclide sans emprunter <\ la géométrie son langage? Quant aux porismes en particulier, il était indispensable de donner une idée de ce genre de propositions, qui ont eu tant de célébrité, et dont plusieurs géomètres de premier ordre s’étaient occupés sans pouvoir en déterminer le principe ni le but, jusqu’au moment où M. Chasles a levé le voile qui couvrait cette question.