CHAPITRE II

Du Raisonnement et de U Evidence déductive.

SECTION PREMIÈRE

Doutes sur ta distinction établie entré la faculté d’ Intuition et celle de Raisonnement.

Le raisonnement est-il une faculté particulière, comme on le dit communément, ou bien n’est-il autre chose que l’intuition elle-même? J’avoue pour moi que je ne suis nullement convaincu de la justesse de cette distinction radicale qu’on a coutume d’établir entre ces deux facultés. On a essayé de montrer que , quelqu’étroitement unies qu’elles soient en général , cette union cependant n’est pas nécessaire, de telle sorte que l’on peut concevoir un être doué de l’une d’elles et en même temps privjé de l’autre. C’est à peu près, dit-on, ce qui a lieu dans les songes et dans la folie : dans chacun de ces deux états, on a vu quelquefois le raisonnement se montrer encore à un assez

Se et. I. lIesprit humain. 3g

haut degré, tandis que l’intuition étoit suspendue ou éteinte entièrement. Mais pour être convaincu de leur indissoluble union, il n’est besoin que de songer qu’à chaque pas que fait la raison dans une démonstration, il doit y avoir certitude intuitive.

Locke a mis cette proposition dans le plus grand jour, et les philosophes de tous les systèmes y ont acquiescé depuis. D’où il suit évidemment que la faculté de Raisonnement présuppose la faculté d’intuition , d’où il suit encore, que la seule question qui puisse * nous laisser un doute est celle-ci : la faculté d’intuition ne contient-elle pas la faculté de raisonnement? Mon opinion à moi est qu’elle la contient, du moins lorsqu’elle se combine avec la mémoire. En examinant ces procédés de la pensée qui conduisent l’esprit par une série de conséquences des prémisses à la conclusion , je ne découvre point un seul acte intellectuel, que ne puisse expliquer l’opération de l’intuition et de la mémoire réunies. Quand nous disons que l’évidence intuitive doit se trouver à chaque pas d’un raisonnement, on conçoit bien que nous n’enlendoos pas par là qu’il faut que tous les divers jugemens intuitifs qui nous mènent à la conclusion soient dans le

4o PHILOSOPHIE DE* ' Ch. II.

moment même présens à la pensée. Le plus ordinairement nous nous confions entièrement à des jugemens qui reposent sur l’évidence de la mémoire. A l’aide de cette faculté, nous joignons ensemble les vérités les plus éloignées entre elles, avec la même confiance que si l’une étoit une conséquence immédiate de l’autre. Toute démonstration peut se résoudre dans une suite de jugemens distincts, soit que nous les formions à l’instant même, soit que nous les redemandions à notre mémoire à qui nous les avions confiés précédemment. La science de la géométrie tout entière est une suite de jugemens intuitifs qui se tiennent les uns les autres , de telle sorte que la démonstration d’une seule proposition renferme virtuellement toutes les précédentes auxquelles elle se rapporte. Et c’est dans la disposition et l’enchaînement de ces divers jugemens ou de ces moyennes que la puissance d’invention et de raisonnement du mathématicien trouve un si noble champ pour s’exercer.

Locke, en divers endroits de ses ouvrages, paroît tout à fait du même avis. « Chaque » pas du raisonnement qui nous mène à » une connoissance, dit-il , offre à l’esprit » une certitude intuitive. Une fois que l’es-

l’esmit humain.

» prit l’a perçue, il n’a plus qu’à s’en sou- » venir, pour voir d’une manière évidente 4

» l’accord ou le désaccord des idées dont il » s’occupe. Cette perception intuitive de » l’accord ou du désaccord des idées inter- » médiaires, qui se produit à chaque pas de » la démonstration, doit à son tour être aussi >» confiée à la mémoire, en se gardant d’en » rien perdre : mais quand il s’agit de lon- » gués déductions, et que l’on a recours à » un grand nombre de preuves , l’esprit ne » peut pas être toujours un gardien exact » et fidèle; par fois il en laisse échapper » quelqu’une, et il arrive que les connois- » sances dues au raisonnement sont plus » imparfaites que celles qu’on doit à la sim- » pie intuition, et que les hommes em- » brassent souvent des erreurs comme des » vérités démontrées (1).

La même doctrine est encore exposée ailleurs par le même auteur en termes aussi exprès (2). Cependant en d’autres endroits

( 1 ) Locke, Essai sur l'Entendement humain , Liv. IV, Ch. II, §. 7 . Voyez aussi Lir. IV, Ch. XVII, §. i5.

(a) Lir. IV, Ch. XVII, §. a. Liv.IV, Ch. XVII, §. 4 et i4.

Ch. II.

son langage favorise la supposition que dans ses procédés déductifs, la raison se montre sous une forme essentiellement distincte de l’intuition. « Lorsque l’esprit, dit-il, per- » çoit l’accord ou la disconvenance de deux » idées, immédiatement, en elles-mêmes, » et sans l’intervention d’aucune autre, cette » connoissance peut être appelée intuitive.

» Mais lorsqu’il ne peut placer ces idées en un tel rapport, qu’au moyen d’une com- » paraison immédiate et de leur juxtà po- » sition, il en perçoive la convenance, ou » la disconvenance, alors il est forcé d’a- » voir recours à d’autres idées (à une ou w à plusieurs, suivant le cas) pour décou- » vrir le rapport qu’il cherche; et c’est là » ce que nous appelons raisonnement (i). »

Ainsi, supposons que l’égalité des deux lignes A et B soit perçue immédiatement à cause de leur coincidence, le jugement de l’esprit dans ce cas est intuitif; mais si nous supposons que A coïncide avec B, et B avec C, le rapport de A à G sera perçu par le raisonnement.

Reconuoissons qu’il entre ici de l'arbi-

(1) Liv. IV, Ch. II, J. i et 2.

Sect. I. l’esprit humain. '43

traire dans l’emploi des mots. En effet, la vérité des axiomes mathématiques a toujours été supposée intuitivement évidente, et le premier axiome d’Euclide est celui qui affirme que si A est égal à B, et que B soit égal à C, À sera égal à C. Ainsi, la définition de Locke, qui range parmi les raisonnemens ce qu’Euclide place parmi les axiomes, ne sert qu’à confirmer ce que nous avons établi sur l’étroite affinité, ou plutôt / sur l’identité entière du raisonnement et de l’intuition. Le rapport entre A et B une fois perçu, A et B s'identifient complètement, comme deux quantités mathématiques semblables, et ces deux lettres peuvent être regardées comme synonymes, partout où elles se rencontrent. Ainsi la faculté qui perçoit le rapport entre A et C est aussi celle qui perçoit le rapport entre A et B, et entre B et C.

Et pour fortifier encore l’évidence de cette proposition, on peut en appeler à la structure même du syllogisme. Est-il possible de concevoir une intelligence formée de telle sorte, qu’elle perçoive la vérité de la majeure et de la mineure , sans être frappée de la nécessité de la conclusion?

44 PHILOSOPHIE DE Ch. II.

Le contraire sera évident pour quiconque sait ce que c’est qu’un syllogisme; ou plutôt , comme dans cette manière d’argumenter, l'esprit est conduit du général au particulier, il est évident que dans le seul énoncé de la majeure est présupposée la vérité de la conséquence, de manière que ce n’est pas sans raison qu’on a remarqué qu’il y a dans tout syllogisme un défaut radical semblable à cette espèce de sophisme connu parmi les logiciens sous le nom de pétition de principe (i).

La différence que l’on établit ordinairement entre l’intuition et le raisonnement, repose, je crois , sur la circonstance du temps. Nous concevons la première comme instantanée, tandis qu’à l’autre se joint nécessairement la notion de succession ou de progrès. Cette distinction est assez, exacte pour le discours ordinaire; et même en plus d’une occasion ce langage nous sert utilement. Mais dans la théorie de l’esprit humain, il a conduit souvent à de fausses conséquences.

(i) Campbell, Philosophie delà Rélhorique, Vol. I, p. 174.

Sect. II.

i/esprit humain.

SECTION II

Du langage, comme instrument de la pensée . Importance d’une langue bien faite.

Avant d’aller plus loin, je profiterai de cette occasion pour tâcher de jeter quelque jour sur un autre point de la science, intimement uni à celui qui nous occupe , et sur lequel les doctrines reçues des logiciens modernes semblent réclamer des explications et des restrictions, beaucoup plus qu’on ne l’a pensé communément.

Nous ne pensons, comme nous ne parlons, qu’avec des mots. Aussi n’est-ce pas seulement dans nos communications avec les autres que se fait sentir l’inconvénient des termes ambigus et non définis ; nos méditations même s'en ressentent. Cette influence du langage a attiré l'attention de Descartes, qui dans le cours d’un excellent traité sur les sources de nos erreurs, a particulièrement appuyé sur celles où nous jette l’emploi du langage comme instrument de la pensée: « Enfin, dit-il, par suite » de notre usage habituel du langage, toutes » nos idées se trouvent attachées aux mots

ch. ii.

» qui les expriment, et jamais nous ne les » confions à notre mémoire sans leurs signes » accoutumés. De là vient qu’il n’est pas » pput-étre un seul sujet dont mous ayons » une notion assez distincte pour y pouvoir » songer sans faire emploi du langage.

» Comme les mots nous reviennent plus » aisément à la mémoire que les choses; » nos pensées s’en occupent bien davan- » tage. Aussi arrive-t-il souvent que nous » donnons notre assentiment à des propo- » sitions dont nous ne comprenons pas le >» sens, nous imaginant , ou que nous avons » déjà pesé la valeur des mots dont elles » se composent , ou que nous les avons » adoptés sur l’autorité d’autres personnes » dont le jugement nous inspire une entière » confiance (i). »

( 1 ) Et denique propter loquelæ usuin , conceptos omnes noslros verbis , quibus eos exprimimus, a 1 1 i— gamus, nec eos nisi si in u 1 euro isiis verbis memoriæ mandamus. Cumque iaciiius poslea verboium quàiu rerum recordemur vixunquam ulliusrei concepfum babemus tàm dislinclum , ul ilium obomni verborum conceptu separemus ; cogitationesque liuiniouiti ierè omnium circa verba magis quàrn circa res versa ntur; adeù ut persæpe vocibus uon inlellcctis præbeant

Sect. II. l’esprit humain. 47

Ajoutons ici que lors même que les progrès des philosophes dans la science du langage auroient banni de leurs discours tout terme équivoque, jamais cependant un élève ne pourroit être exempté de la tâche d’analyser lui-même avec soin les idées complexes attachées aux termes qu'il emploie dans ses raisonnemens. L’usage des termes nous est le plus souvent enseigné, avant que nous en puissions comprendre la valeur; et la plupart des hommes continuent à s’en servir toute leur vie sans jamais songer à examiner soigneusement quelles notions ils renferment. C’est là une étude que chacun doit faire pour lui-même, et à laquelle ne sauroit suppléer aucune règle de la logique, quelle qu’en soit d’ailleurs l’utilité pour la direction de notre travail.

Si l’on vouloit des exemples de l’utilité d’un emploi réfléchi des mots , comme moyens de communication, et comme instrumens de pensée, on en découvriroit de bien frappans dans l’histoire de la science.

assensum quia putant se illos olim inlellexisse, vel ab aliis qui eas reclè intelligebant, accepisse.

Princip. Phil . Pars prima. L. XX.IV.

Ch. II.

à cette époque où le jargon scolastique étoit en usage parmi les sa vans; langage technique, non seulement mal combiné pour la découverte de la vérité, mais encore habilement arrangé pour la propagation de l’erreur, et qui, dans la controverse , donnoit à ceux qui en avoient l’habitude, de grands avantages, au jugement du moins de la multitude, sur des adversaires plus sincères et plus éclairés. Les imperfections d’une telle philosophie ont été mises en évidence par Descartes et ses disciples, moins encore par la force de leurs raisonnemens, que par celte habitude qu’ils donnèrent aux esprits de faire usage de leurs facultés, au lieu de s’agiter au hasard dans les ténèbres artificielles de l’école. Bientôt, l’importance du langage étant partout reconnue, l’attention de nos meilleurs philosophes se tourna de plus en plus, dans le siècle dernier, vers cette branche de la logique qui a rapport à l’emploi des mots.

Les observations de Locke sur ce sujet forment peut-être la plus belle partie de ses ouvrages, et depuis, de nouvelles et vives lumières ont encore été répandues sur cette matière par Condillac et ses successeurs.

Cependant, tout importante que soit cette

Sèct. IL l’esprit humain, 49

branche de la logique dans ses applicalions pratiques, quelque haut intérêt qu’elle emprunte de sa liaison intime avec la théo^ rie de l’esprit humain, il pourroit arriver que l’on poussât à un excès dangereux les conséquences qui s’en déduisent. Condiliae lui-même s’expose, et d’une manière assez grave, à ce reproche. Dans plus d’une occasion, il s’exprime comme s’il concevoit qu’il fût possible , au moyen de termes précis et bien définis, de réduire le raisonnement dans toutes les sciences à une sorte d’opération mécanique, analogue dans sa nature à celle que pratique l’algébriste sur les lettres de l’alphabet. L’art de raisonner, répète-t-il en mille endroits, se réduit à une laugue bien faite. Proposition, dont le vague et l'incorrection ont été remarqués, il y a long-temps, par M. de Gérando qui nous a donné lui-même une exposition claire et satisfaisante du fait important auquel elle a rapport. « C’est, dit-il, le caractère d’une » conception prompte et vigoureuse, de ne » point s’arrêter dans de justes bornes. De là » chez cet estimable écrivain ces principes » trop absolus : que l’étude d’une science se - » borne à apprendre une langue; qu’une III. 4

5o PHILOSOPHIE DE Ch. tl.

» science bien traitée n’est qu’une langue » bien faite. De là cette opinion hasardée, » que les mathématiques n’ont sur le reste » des sciences d’autres privilèges que de » posséder une langue meilleure, et qu'on » procureroit à celles-ci une égale simplicité » et une égale certitude, si on savoit leur » donner des signes semblables. »

« Le même travail que durent exécuter » ceux qui instituèrent le langage, qu’exécute y> l’enfant lorsqu’il apprend sa langue , se » répète aussi dans l’esprit de l’homme déjà » pourvu de tous ces signes, chaque fois » qu’il en fait usage. Car la décomposition » de la pensée peut seule lui apprendre à » faire le choix des signes qu’il doit em- » ployer, et à les disposer dans un ordre » convenable. Ainsi cette action extérieure » que nous nommons parler ou écrire , est » toujours accompagnée d’un travail philo- » sophique dans l’esprit, à moins qu’on ne » se borne, comme il arrive trop souvent, à » répéter mécaniquement ce qui a été dit » par d’autres. C’est sous ce rapport que » nos langues, avec leurs formes et leurs » règles, conduisant pour ainsi dire ceux » qui s’en servent dans le sentier d’une

3ect. ÏI. l’esprit humain. 5i

y, régulière analyse, leur traçant dans un » discours bien fait le modèle d’une par- » faite décomposition, peuvent être regar- » dées en quelque sorte comme des méthode# » analytiques. Je dis en quelque sorte, car le » mot de méthode ne peut être employé ici » qu’improprement. Les langues sont des oc- » casions , des moyens d’analyse, c’est-à-dire, » qu’elles sont entre nos mains un secours » pour mieux suivre la méthode; mais elJesne »> sont point la méthode même. Elles sont » comme les signaux placés sur une route » pour aider à la reconnoilre. Si les langues » nous aident à analyser, c’est qu’elles sont » elles-mêmes les produits et comme les » monutnens des analyses qui ont été faites; » et leurs secours sont d’autant plus efti- » caces que ces analyses ont été mieux exé- » cutées(i).»

Dans un des passages que nous venons d’emprunter à M. Gérando, il est question de ce que l’auteur appelle justement une assertion téméraire de Condillac, savoir , que les mathématiques n’ont sur les autres sciences qu’un seul avantage, celui d’une

( 1 ) Des signes et de l’art de penser. P. i58, i5g, Tome 1 :

5a PHILOSOPHIE DE Ch» H*

langue bien faite, et que toutes pourroient atteindre aux mêmes caractères de simplicité et de certitude , si nous savions comment leur donner des signes également parfaits.

Leibnitz semble avoir eu en vue une idée semblable dans ces réflexions obscures et énigmatiques qu’il ramène souvent sür les miracles à opérer par un nouvel art dé son invention , dont notre algèbre ne seroit qu’une branche. « Telle seroit, dit-il, la puis- » sance de cet art, qu'avec une exactitude » semblable à celle du mécanisme, il reni> droit les opérations de la raison fixes et » visibles, autant qu’infaillibles sur l’esprit j> des autres. C’est ainsi que l’algèbre ne » nous laisse pas la possibilité de commettre » une erreur, même quand nous le souhai- » tenons, et met la vérité sous nos yeux * comme une peinture estampée sur le pa-

« pier par le moyen d’une machine Je puis

» affirmer qu’en supposant cet art adopté » par tous comme unique méthode philo- » sophique, le temps arriveroit bientôt où » nous serions capables de former des con- » clusions sur l’homme et sur Dieu avec non » moins de certitude que nous en formons

Sect. H. l’esprit humain. 53

» aujourd’hui sur les figures et sur les norav bres. Mais pour mettre cet art à exécu- » tion, il faudrait au préalable dresser une '* table alphabétique des pensées humaines; » et pour l’invention de cette table, une » analyse des axiomes est indispensablement » nécessaire (i). »

Dans ces extraits de Leibnitz, comme dans ce que nous avons cité de Condillac, la différence essentielle qui existe, sous le rapport même du langage, entre les mathématiques et les autres sciences, est entièrement méconnue. Dans les mathématiques, où l’emploi d’un seul mot équivoque est impossible, on conçoit aisément comment la solution d’un problème peut être ramenée à quelque chose de semblable à l’opération d’un moulin, puisque les conditions du problème une fois traduites en langage algébrique, disparoissent entièrement de la vue, et que les procédés subséquens sont presque mécaniquement déterminés par des règles générales, jusqu’à ce que le résultat final soit obtenu. Dans les autres sciences.

( 1 ) Wallisii Opéra. YoL III. P. 6au

54 philosophie db* • Ch; n;

ce n'est point seulement à chaqué terme en particulier que peut s'attacher l’équivtf> qup. Le sens qui nait de l’ensemble même des mots dont se forment nos raisonnemens , est susceptible de nuances plus oU moins variées. Ce n’est qu’en considérant attentivement en quel rapport chaque mot se trouve avec le reste de la phrase, <jue l’on peut affirmer quelle est l’idée pré-» cise de l’auteur dans un cas donné. Ainsi y un exercice constant et sans relâche d© l’attention est indispensable pour prévenir nos égaremens à chacun de nos pas. Hors du cercle des sciences mathématiques, l’esprit doit toujours, dans l’étude d’une suite de raisonnemens , mener de front , avec le soin de la déduction logique exprimée dans les mots, un autre soin* logique aussi, maisd’une nature bien plus délicate et plus difficile : c’est celui de fixer avec une rapidité qui échappe à la mémoire, le sens précis- 1 de chaque terme équivoque, par l’examen du rapport où il se trouve avec le dessein général du sujet. Or, les progrès du langage consistant plutôt dans une distinction et une classification plus précise des divers sens des mots , que dans une réduction nu-

Sect II. l'esprit humain. 55

mérique de ces mêmes sens, la tâche de l’induction et de ^interprétation morale peut sans doute être rendue plus aisée et moins sujette à l’erreur; mais la nécessité de celte tâche ne sera jamais abolie, avant que chaque mot soit fixe et invariable dans sa signification, en quelque place qu’il se trouve, comme un caractère algébrique, ou comme le nom d’une figure de géométrie.

Que l’on y fasse attention , et l’on verra que la supériorité intellectuelle d’un homme sur un autre, dans les diverses branches de la philosophie morale et politique , dépend du succès avec lequel on a cultivé ces habitudes intérieures d’interprétation inductive , beaucoup plus que de la parfaite counoissance des règles qui font surtout l’objet del’étude des logiciens de profession. Une preuve de cette assertion, c’est que toute la théorie du syllogisme s’appuie sur celte supposition : que le même mot est toujours employé dans le même sens ( car autrement le syllogisme seroit faussé , puisqu’il contien droit plus de trois termes ). Et ainsi dans chaque règle qu’elle nous offre pour guider notre faculté de raisonnement , elle part de cette donnée:

que la partie la plus délicate et la plus dif-

ch. n.

ficile de beaucoup du procédé logique a été préalablement conduite à une heureuse fin (1). . i ' v ’

Mais il est temps de nous livrer à l’examen des procédés du raisonnement. Les diverses

( 1 ) Dans l’application pratique de ces principes, on ne pourra manquer d’èlre frappé de cette remarque, aussi facile qu’importante: c’est que plus las objets de nos raisonnemens sont éloignés des détails particuliers par lesquels sont affectés nos sens, plu# s’accroît la difficulté de ces procédés d’induction intérieure- C'est là la source réelle de cette incapacité pour les spéculations générales que Hume a si bien décrite comme un caractère distinctif des esprits non cultivés. Les raisonuemens généraux leur semblent embarrassés par cela seulement qu’ils sont généraux. 11 n’est point aisé au vulgaire de saisir daus un grand nom- lire de cas particuliers la. circonstance par laquelle tous se ressemblent* pu de la tirer pure et sans mélange des autres circonstances où elle se trouve confondue. Toute conclusion, tout jugement est chez eux particulier. Ils ne peuvent étendre leurs vues jusqu’à ces propositions universelles qui embrassent soiis elles un nombre infini d’individus, et renferment une science entière dans un seul théorème. Leurs

aHBP* . . ■ * • r .r-1 .

yeux sont éblouis d’un point de vue si vaste , et les -Conclusions qu’on eu lire, même lorsqu’elles sont exprimées clairement, leur semblent obscures et confuses i s ’ ' ***W Sf.lil - ■-■-'j ’ ; * VÎ-P

Sect. II. l’esprit humain. Bi-

parties dont il se compose, pouvant être séparées les unes des autres, et chacune d’elle énoncée en forme de jugement .logique , fournissent par conséquent à nos études des données plus certaines et plus palpables que l’intuition. Je commencerai par quelquesremarques sur le raisonnement général, pour lequel l’emploi du langage, comme instrument de pensée, est tout-à-fait indispensable.^

1 •’ ‘ * " • • * b îricvv 010003 *>hr :

• - n SECTION III. ......

Du Raisonnement général. '

■ -y b. y '•■bu., . j. ;

Comment formons-nous des raispnnemens générai^ ?. On ne niera point, je pe^g, que lorsqu’un élève ft borde pour la première , fois l’étude de la géométrie , il considère iejs figures placées sous ses peux comme des objets: individuels , et seulement comme des objets individuels. En lisant, par exemple, le théorème qui démontre que les trois angles d’un triangle sont égaux à deux angles droits, il ne pense qu’au triangle qui lui est offert sur la marge de la page. Et même

58 PHILOSOPHIE DE Ch. II.

cette figure particulière s’empare tellement de son attention, que ce n'est pas d’abord sans quelque difficulté qu’il applique celte démonstration à un autre triangle dont la forme est différente, ou à ce triangle même placé dans uiip position inverse. Ce n’est que peu à peu qu’il établit dans son esprit ce principe fondamental de logique : que lorsque l’énonciation d’une proposition mathématique n’enveloppe qu’une certaine part des attributs de la figure qu’elle est employée à désigner , cette même proposition reste encore vraie de toute autre figure qui comprend les mêmes attributs, quoique celleci se distingue souvent de la première par d’autres particularités spécifiques.

Mais pour nous former une idée précise de la manière dont s’accomplit ce procédé de l’esprit, il est nécessaire de faire remarquer l’étroite et indissoluble liaison qui existe entre la faculté de faire des raisonnemens généraux , et l’emploi du langage artificiel. C’est au langage que nous devons une classe de signes, qui, en exprimant toutes les circonstances que nous désirons comprendre dans nos raisonnemens , exclut eu même temps toutes celles que nous voulons né—

Sect. III. l’esprit humain. 59

gliger. Le mot de triangle , par exemple, lorsqu’on l’emploie sans épifhèle , borne notre attention aux trois angles et aux trois cdlésde la figure placée devant nous, et nous rappelle dans notre opération qu’aucun point de notre raisonnement ne doit s’appuyer sur aucune des diverses qualités spécifiques que cette figure peut offrir. Toutefois, à la notion que nous attachons au mot Triangle pendant que nous lisons la démonstration , se joint en outre cette notion particulière, que ce mot, dans sa valeur partielle ou abstraite , est égalemeut applicable à une variété infinie d'autres individus, * Par celte » imposition de noms, dit Hobbes, nous » transportons les conséquences des choses » elles-mêmes à leurs appellations. Suppo- » sons, par exemple , un sourd-muet de » rtaiskance. Si Ion place devant ses yeux » un triangle et à cdté deux angles droits , « il pourra trouver par la comparaison et » la méditation , que les trois angles de ce » triangle sont égaux aux deux angles droits » placés à côté. Mais si on lui montre un autre » triangle d’une forme différente, il ne pourra » savoir, sans un nouveau travail, si les » trois angles de celui-ci sorit encore égaux

Ch. IL

» aux deux angles droits. Mais celui qui a » l'usage de la parole, lorsqu’il observe que » cette égalité étoit une conséquence, non « point de la longueur des côtés, ni de » toute autre qualité propre à ce triangle , » mais seulement de cette circonstance que w les côtés éloient droits, et que les angles » étoient au nombre de trois, lorsqu’il voit r> que c’est seulement à cause de ces proy> priétés qu’il le nommoit triangle, alors il » posera hardiment cette conclusion géné- » raie : que cette égalité des angles se » trouve dans tout triangle quelconque.

« Ainsi la conséquence que lui fournit un >3 cas particulier, devient pour nous une >3 règle générale; elle nous dispense de tenir >3 compte du temps et du lieu. Le travail se >3 fait une fois pour toutes, et ce que nous >3 avons trouvé vrai à celte place et en ce >3 jour, nous le proclamons vrai eu tout 33 temps et en tous lieux (i). >3 C’est ainsi que le langage vient au secours de l’esprit dans la formation des raLsonnemens généraux.

<(i) Hobbes, De l’Homme, Part. I. Cb. IV.

Dit

Sec t. III. l’esprit humain. 6i

Si nous voulons maintenant chercher quelles généralisations sont les plus faciles en géométrie (et nous choisissons nos exemples dans cette science parce qu’on ne l’aborde ordinairement qu’avec une raison déjà exercée, et capable de l’observer elle-même), nous trouverons qu’aucunes n’entrent aussi aisément dans l’esprit qûe celles qui ont rapport aux diversités d’épaisseur ou de grandeur. A la seule lecture des premières démonstrations d’Euclide, l’élève voit presqu’immédiatement que l’échelle sur laquelle est’construite la figure importe aussi peu à la question que l’épaisseur ou la couleur des lignes qu’elle présente à nos sens.

Les généralisations qui portent sur les diversités de forme ou de position s’accomplissent beaucoup plus lentement, et cela par la raison évidente que ces différences sont beaucoup plus fortement marquées, beaucoup plus distinctes les unes des autres comme objets de vision et de conception. Ce qui montre manifestement de quelle difficulté , comparativement parlant , est en pareil cas le procédé de généralisation, c’est l’embarras qu’éprouvent les élèves, quand

Ch. II.

ils appliquent la quatrième proposition à la démonstration de la cinquième. La position renversée, et la coïncidence partielle des deux triangles au-dessous de leur base, semblent rendre leur rapport mutuel si différent de celui des deux triangles séparés avec lesquels l’œil s’étoit d’abord familiarisé, qu’il n’est point étonivmt qu’en cette circonstance la marche du raisonnement soit suivie par un novice avec quelque doute et quelque hésitation. .

Le calcul algébrique, lorsqu’on l’applique à la géométrie, place encore cette doctrine dans un jour plus frappant , en faisant embrasser d’une seule vue tous les cas possibles d'un problème, et en renfermant souvent une science entière dans un seul théorème général , qui , déduit longuement en propositions, et démontré à la manière des anciens , auroit aisément fourni le sujet d’un long traité. Certes , on ne supposera pas que pendant que nous lisons une telle démonstration géométrique , ou que nous suivons la marche successive du procédé algébrique, notre esprit embrasse tous les cas possibles auxquels s’étendent nos raisonnemens.il en arrive si bien autrement

5ect. III. ^ESPRIT HUMAIN. 63

que la vaste étendue de la conclusion n’est découverte que par une sorte d’induction subséquente; et jusqu’à ce que l’habitude nous ait familiarisés avec de pareilles découvertes, elles ne manquent jamais d’exciter en nous une sorte de transport.

De ce que nous venons d’exposer cidessus, il s’ensuit que pour arriver à une conclusion générale dans les mathématiques , et la même règle s’applique aux autres sciences, deux procédés divers de raisonnement sont nécessaires. L’un est la démonstration de la proposition en question, pendant l’examen de laquelle nous ne sommes certainement occupés que de la figure individuelle qui est devant nous.

L’autre est ce progrès de notre pensée qui applique cette conclusion particulière à toute figure qui peut être énoncée dans les mêmes termes. Comme ce dernier exercice de la pensée est essentiellement le même dans tous les cas, nous cessons insensiblement de le répéter jusqu’à ce que nous arrivions à la longue à généraliser, sans même y songer, notre conclusion particulière, à l’instant même où elle est formée, ou, en d’autres termes, à la considérer comme une pro-

PHILOSOPHIE HE

Ch. II.

position qui comprend à elle seule un nombre infini de vérités particulières. Une fois cette habitude prise, nous oublions par quels lents degrés nous y sommes arrivés, et nous sommes portés à croire qu’unè conclusion générale se déduit immédiatement d’une démonstration générale, et que, malgré la présence d’une seule figure, nous avons dû songer à chaque pas, que notre esprit a en vue, non point cette simple figure, mais des idées générales. De là l’usage ordinaire parmi les logiciens de ces phrases scolastiques et mystérieuses, dont l’effet inévitable, quelque peine qu’on se donne pour les interpréter d’une manière qui ne répugne point trop au bon sens , est de nous faire perdre de vue le procédé réel de l’esprit humain dans la généralisation de ses connoissances. •

Sect. IV.

l'esprit humain*

SECTION IV

De ta démonstration mathématique.

De la circonstance d’où dépend essentiellement l’évidence démonstrative.

Le caractère particulier «le cette espèce d’évidence qu’on nomme démonstrative, et qui distingue si fortement les conclusions mathématiques de celles que nous offrent les autres sciences, est un fait qui doit avoir attiré l'attention de quiconque n’est pas tout-à-fait étranger aux élémeiis de la géométrie. Et cependant je doute qü’on ait encore expliqué d’une manière satisfaisante à quelles circonstances est dû ce caractère* Locke nous dit : Ce qui constitue une démonstration, c’est l’évidence intuitive qui accompagne chaque membre du raisonnement. J’avouerai volontiers, que si dans un seul des membres cette évidence s’obscurcissoit, les autres parties de la démonstration seroient de nulle valeur. Cependant, je ne pense pas que ce soit de cette intui- III. 5

Ch. IL

tion que dépend l’évidence démonstrative de la conclusion , quand bien même nous ajouterions encore cette autre condition sur laquelle Reid insiste beaucoup : qu’il faut que les premiers principes soient intuitivement certains. J’ai déjà relevé l’inexactitude de cette proposition, en parlant de l’évidence des axiomes. J’observais en outre que les premiers principes dans nos raison»emens mathématiques, ce ne sont pas les axiomes, mais les définitions. C’est encore sur cette dernière circonstance (je veux dire^ cette propriété d’avoir des définitions pour principe de raisonnement) qu'est fondée toute la théorie de la démonstration mathématique. C’est ce que je veux expliquer ici assez au long, en tâchant d’établir en üïême temps quelques-unes des plus importantes conséquences qui s’en déduisent.

Je suis loin d’ailleurs de réclamer pour cette doctrine les honneurs de l’invention.

L’idée principale qu’elle renferme a déjà été plus d’une fois exposée, même avec certain développement, par divers écrivains anciens ou modernes. Mais dans tous elle est tellement confondue avec d’autres considérations de même sorte tout-à-fait étrangères au point en question, que l’attention de l’auteur, aussi

SecLÎV. L’£SPRlT HUMAIN. 67

bien que celle du lecteur, s’écarte du seul principe dont puisse sortir la solution du problème. Sans doute, ce sont d’immenses avantages que ceux que tirent les mathématiques, et de la nature des rapports dont elles traitent, et de cette langue où tout est si simple et si bien défini, et de cette sévérité de logique , si admirablement déployée dans l'enchaînement de leurs innombrables théorèmes. Mais tout cela n’a aucune liaison nécessaire avec ce qui fait le sujet de nos recherches en ce moment.

Nous l’avons déjà remarqué : tandis que, dans toutes les autres sciences , les propositions que nous cherchons à établir expriment des faits réels ou supposés, en mathématique les propositions que l’on démontre affirment seulement un rapport entre certaines suppositions et certaines conséquences. Ainsi nos raisonnemens, dans cette science, sont dirigés Vers un objet entièrement différent de celui que nous nous proposons dans 4out autre emploi de nos facultés intellectuelles. Ils ont pour but, non point d’affirmer des vérités au sujet d’existences réelles, mais de tracer une suite logique de conséquences qui sortent d’une

G8 PHILOSOPHIE HE Ch. II.

hypothèse donnée. Si en partant de cette hypothèse, nous raisonnons d’une manière exacte, il est manifeste que rien ne sauroit manquer à l’évidence du résultat, puisqu’il ne fait qu’affirmer une liaison nécessaire entre la supposition et la conclusion. Dans les autres sciences, au contraire, en admettant même que toute ambiguité dans le langage ait disparu, que chaque membre de la déduction soit rigoureusement exact , nos conclusions pourront encore être plus ou moins certaines, puisqu’elles se fondent en dernière analyse sur des principes qui correspondent plus ou moins aux faits mêmes.

• Dans les branches de nos études qui ont pour objet la morale ou la politique , le système de connoissances qui se rapproche le plus selon moi d’une science hypothétique comme les mathématiques , c’est un code de jurisprudence; (tu plutôt on peut concevoir qu’un tel code offrît cette ressemblance, si la rédaction en éloit systématique et conforme en toutes ses parties à certains principes généraux ou fondamentaux. Que ces principes fussent ou non justes et utiles, du moins il est possible, évidemment, en raisonnant conséquemment d’après ces don-

Sect. IV. L'ESPRIT HUMAIN. 66

nées, de créer un corps de science artificiel ou conventionnel plus systématique et en même temps plus complet que ne pourroit l’être, dans l’état présent des connoissances, aucune des sciences qui reposent en dernière analyse sur les règles éternelles et immuables de la vérité et de l’erreur, du bien et du mal.

Mais si l’imagination peut se représenter dans les systèmes de morale ou de politique quelque chose d’analogue aux conclusions hypothétiques des mathématiques, de même aussi, par un effet contraire, si le mathématicien affirmoit de la propriété générale du cercle , qu’elle s’applique à une figure particulière tracée sur le papier, il rabaisseroit tout d ? un coup, un théorème géométrique au niveau d’un fait ordinaire, dont l’évidence repose sur nos sens imparfaits.

Toute l’exactitude de son raisonnement ne pourroit jamais donner à sa proposition cette évidence particulière à qui appartient proprement le nom de mathématique , tant qu’il resteroit douteux en fait, si par exemple toutes les lignes droites tirées du centreà la circonférence de la figure sont mathématiquement égales.

Gh. ir.

Ces observations m’amènent à remarquer une méprise des plus communes et des plus dangereuses que fait naître l’imperfection du langage, Les définitions mathématiques sont par leur nature essentiellement différentes de celles qu’on emploie dans toute autre science. Cependant les logiciens, après avoir montré les erreurs où nous jette un langage équivoque , ne manquent pas d’invoquer l’exemple des mathématiciens pour prouver de quel immense avantage il nous seroit, dans nos raisonnemens, de n’user que d’expressions toutes définies avec le plus de soin possible. Il est vrai ; il n’y a pas dans les mathématiques un seul mot équivoque , et les mathématiciens en sont surtout redevables à l’usage des définitions. Mais c’est un avantage que leur assurent aisément, et le peu d’étendue de leur vocabulaire, et la netteté des idées qui entrent dans leurs raisonnemens; et quant à la différence qui existe à cet égard entre les mathématiques et les autres sciences % toute grande qu’elle soit , encore n’est-ce qu’une différence de degré, qui ne sauroit à elle seule expliquer suffisamment la différence essentielle que chacun peut remar-

Sec t. IV. l’esprit humain. 7 1

quer entre l’irrésistible évidence d’une démonstration mathématique» et celle de tout autre raisonnement.

D’où peut donc naître cette évidence ?

C’est que dans les mathématiques les définitions ont deux objets : non-seulement elles préviennent l’ambiguité des termes , mais elles servent aussi de principes de raisonnement. Et c'est à cette dernière circonstance, je veux dire à l'emploi d’hypothèses au lieu de faits réels pour données, que doit être attribuée cette force particulière de l’évidence démonstrative. Ce u'est que sous le rapport du premier usage des définitions, qu’o» pourroit* comparer les mathématiques et les autres sciences qui se fondent sur des faits réels. Et alors ce n’est pas donner une grande preuve de l’utilité des définitions en général, que d’en appeler à l’infaillible certitude des mathématiques, puisque leur supériorité dérive d’une source toute différente, quoique nommée du même nom, et qu’elles la réclameront toujours comme leur privilège exclusif.

N’oublions pas que c’est seulement dans les mathématiques pures que nous pouvons

Ch. II.

placer les définitions au commencement de nos recherches. Dans beaucoup d’autres cas, une discussion préalable est nécessaire pour montrer que les définitions que nous apportons correspondent aux faits réels , et souvent une définition juste est le but même que nous proposons à nos recherches. « Lors- >3 que nous définissons, observe judicieuse- » ment M. Burke, nous sommes en danger 3* de circonscrire la nature dans les bornes » de nos propres notions, souvent dues au » hasard, ou acceptées de confiance, ou >3 formées d’après un examen partiel et >3 borné, au lieu d’étendre nos idées pour 313 embrasser tout ce que comprend la na- » ture dans ses combinaisons. Nous sommes » arrêtés dans nos recherches par les strictes 33 lois que nous nous sommes imposées dès » notre début. Une définition, qu’elle qu’en » soit la vertu, doit plutôt suivre que précé- » der nos recherches, et doit en être regardée » comme le résultat. 3>

De l’oubli de ces considérations, et de l’aveugle imitation de l’ordre mathématique dans des études où les faits sont compris parmi les principes de nos raisonnemens , sont sorties mille erreurs qu’il seroit facile démontrer, dans les écrits des philosophes.

Sect. IV. l’esprit humain. 73

Si notre doctrine sur l’évidence démonstrative est juste , la conséquence en est :

que nulle suite de raisonnement ne mérite le nom de démonstration dans le sens mathématique du mot, qui ne se résout point en dernière analyse dans des hypothèses ou des définitions. Nous avons déjà montré que ce dernier caractère étoit celui de la géométrie ; c’est encore manifestement celui de l’arithmétique qui partage avec cette science le nom de mathématiques. Ces simples équations arithmétiques : 2 -+• 2 = 4 »

a-f-3 = 5, et autres propositions élémentaires de la même sorte, sont de pures définitions, parfaitement analogues à cet égard à celles qui sont à la tête de la géométrie; et c’est de quelques-uns de ces principes fondamentaux, ou du moins de principes essentiellement du même genre, que sortent les résultats les plus compliqués de la science.

Peut-être pourroit-on craindre que notre conclusion générale au sujet de la démonstration mathématique ne rencontrât une exception dans les raisonnemens sur les problèmes géométriques; ces raisonnemens s’appuient, comme chacun sait, en dernière

74 PHILOSOPHIE DE Ch. II.

• analyse sur une classe particulière de principes qu’on appelle postulata , et que l’on croit communément si semblables aux axiomes, qu’on ne voit aucun inconvénient à les désigner sous le même nom. Le postulatum a un étroit rapport avec l’axiome , a-t-on dit; c’est un problème évident par soi-même , comme l’axiome est un théorème évident par soi-même.

Pour moi, je n’hésiterai point à affirmer que c’est aux définitions et non point aux axiomes que les postulata doivent être comparés sous le double rapport de leur nature et de leur importance logique. De même que dans la géométrie plane toutes les démonstrations se fondent sur les définitions, de même aussi toutes les constructions qu’elle reconnoîtcomme légitimes peu vent se résoudre dans les postulata. Ajoutons que dans le point de vue d’Euclide, les problèmes ne sont pas moins hypothétiques que les théorèmes , puisque la possibilité de tirer une ligne droite , et de décrire un cercle mar thématique , sert de donnée pour la construction de chaque problème, de même que dans l’énoncé d’un théorème on part de l 'existence une fois admise de la ligne

l’esprit humain.

Sect. IV.

droite et du cercle , tels que les définissent les mathématiques. Il s’en suit donc qae le raisonnement qui conduit à la solution du problème , n'est pas moins démonstratif que celui qui sert à prouver un théorème. Accordez la possibilité des trois opérations décrites dans les postulata, et l’exactitude de la solution est mathématiquement certaine, autant que les propriétés diverses du triangle ou du cercle. Les trois postulata d’Euclide ne sont à vrai dire rien autre chose que les définitions du cercle et de la ligne droite sous une forme un peu différente ; remarque qui peut s'étendre aussi à la division correspondante des pro* positions en théorèiæs et en problèmes.

Malgré tous les avantages de cette classification, il est évident que c’étoit là plutôt une affaire de choix qu’une nécessité , puisque toutes les vérités de la géométrie se laissent aisément jeter dans une autre forme, selon le caprice du mathématicien. Quant aux axiomes, quelque opinion que l’on ait d’ailleurs de leur utilité ou de leur insignifiance, il n’est pas douteux que leur rapport avec ces deux classes de propositions ne soit précisément le même.

Ch. II.

Suite du même sujet. Jusqu’à quel point il est vrai que l’évidence mathématique peut se résoudre dans la perception de l’identité.

C’est ici le lieu de faire mention d’une théorie sur la nature de l’évidence mathématique tout-à-fait différente de celle que je viens de chercher à établir. Suivant ce système, dont la première idée appartient je crois à Leibnitz, toute évidence mathémalique se résout en dernière analyse dans la perception de l’identité; l’innombrable varié! é des propositions découvertes ou à découvrir n’étant que l’expression diversifiée de cette simple formule A=A. « Le géomètre,»

a dit un écrivain aussi distingué comme mathématicien que comme philosophe, « le » géomètre avance de supposition en suppo- » sition; et retournant sa pensée sous mille » formes, c’est en répétant sans cesse : le » même est le même, qu’il opère tous ses » prodiges. » Comme ce système sur l’évidence mathématique me semble tout-à-fait inconciliable avec les observations précédentes, il est nécessaire, avant d’aller plus ' loin, d’examiner son importance réelle, et

l'esprit humain.

Sect. IV.

quelles circonstances lui ont prêté cette vraisemblance qu’on lui accorde si généfàlement.

Que l’évidence mathématique se résolve en dernière analyse dans la perception de l’identité, c’est ce que quelques personnes ont considéré comme une conséquence- de la doctrine reçue, que les axiomes sont les premiers principes de nos raisonnemens en géométrie. Je n’ai rien à ajouter sur ce point à ce qui a déjà été établi. L’argument que je veux combattre à présent est d’une nature plus fine et plus subtile, et en même temps se complique d’un certain mélange de vérité qui ne contribue pas peu à la vraisemblance de la conclusion. Il est fondé sur cette simple considération que les notions géométriques légalité et de coïncidence sont une même chose, et que même lorsque nous comparons ensemble les espaces de figures différentes, de deux triangles, par exemple, toutes nos conclusions en dernière analyse portent de tout leur poids sur la superposition fictive d’un triangle sur l’autre; superposition dont l’objet est purement ^identifier les deux triangles

78 PHILOSOPHIE DE Ch. II.

dans toutes leurs qualités de grandeur et de figure.

La donnée sur laquelle repose cet argument est de toute justesse, et je ne songe pas à élever contre elle le doute le plus léger. Qu’on prenne dans les élémens de géométrie un théorème où des espaces ditïerens sont comparés ensemble, et l’on s’apercevra aisément que la démonstration, quand on la fait remonter jusqu’aux premiers principes, vient aboutir à la quatrième proposition du premier livre d’Euelide. Dans le cas où les triangles égaux différeroient par la figure , cet expédient de superposition idéale ne pourroit, il est vrai, être immédiatement employé pour faire ressortir leur égalité. Mais en les divisant en compartimens tels, que la somme des parties de l’un soit prouvée égale à la somme des parties de l’autre, on se convaincra que la démonstration en ce cas repose au fond sur la même espèce d’évidence. Et le géomètre n’est pas le seul qui raisonne d’après ce principe. Si l’on désire convaincre une personne d’un sens droit, mais étrangère aux mathématiques, de la vérité d’un des théorèmes d’Euclide, on n’y réussira qu’en

Sect. IV. l'esprit humain. 79

exécutant sous ses yeux des opérations matérielles, exactement analogues à celles que la géométrie offre à l'entendement. Et véritablement, ce mode de comparaison par superposition réelle ou idéale, est la seule preuve d’égalité à laquelle on puisse en ap.

Je suis fort enclin à croire que la plupart des écrivains qui ont établi que l’évidence mathématique se résout dans la perception de l’identité, avoient en vue cette doctrine de l’égalité des figures , et qu’ils s’en sont imposé à eux-mêmes en se servant des mots identité et égalité comme de termes parfaitement synonymes , ce qui ne s’accorde nullement, ni pour l’expression, ni pour le fait même, avec une saine logique. Lorsqu’on affirme, par exemple, que l’aire d'un cercle est égale à celle d’un triangle ayant la circonférence pour base et le rayon pour hauteur, seroit-on en droit d’en conclure que le rapport perçu entre ces deux figures peut être exprimé par la formule A — A, et ne seroil-ce pas un évident paralogisme d’inférer de cette proposition que le triangle et le cercle sont une seule et même chose? Aussi, pour récon-

PHILOSOPHIE UE

Ch. IL

cilier ici le langage d’Euclide avec celui.

d’Archimède, est-on obligé d’avoir recours à une distinction scolastique entre la coïncidence actuelle el la coïncidence potentielle. Et si nous voulons nous aider du principe de la superposition pour défendre la théorie reçue au sujet de l’évidence mathématique, j’ai bien peur qu’il ne nous faille introduire une distinction pareille entre l’identité actuelle et l’identité potentielle.

Toutefois, pour éviter d’être accusé de dénaturer une opinion que j’ai besoin de réfuter, je vais la consigner ici dans les termes mêmes d'un auteur qui en a fait le sujet d’une dissertation particulière, et qui me semble avoir dit autant en faveur de cet argument qu’aucun autre de ses défenseurs.

u Toutes les propositions des mathémati- » ciens sont identiques et peuvent se re- » présenter par cette formule A=A. Ce sont y> des vérités identiques, exprimées sous des » formes diverses: c’est le principe de con- » tradiction lui-mênhe énoncé et impliqué de >> differentes manières; caï eu dernière ana- » lyse, toutes les propositions de ce genre « sont contenues dans ce principe. Suivant

Sect. IV. l’esprit humain.

» l'étendue de notre intelligence, on remar- » que une différence dans la suite plus ou » moins longue de raisonneinens par la- » quelle ces propositions se ramènent au

»> principe premier pour s y résoudre. Ainsi » la proposition a-f- a ~4 se tradiiitde suite » en celle-ci : — i-Hi-hi+i ,

« c’est-à-dire : le même est le même ; et à

» proprement parler, elle devroit être énon- ■o cée ainsi. : s’il arrive qu'il existe quatre êtres , alors quatre êtres existent ; car » l’existence n’est qu’hypothétique pour » les géomètres. De là naît une certitude « complète pour celui qui considère ces » raisonnements, car il observe Pidenîitê de

Il # .. w. t ■ • • . , ,, (

» ces idées, et c’est cette évidence qui » force immédiatement l’assentiment que >* l’on appelle géométrique ou mathéma- » tique. Au reste, ce n’est pas là une pro- « priété particulière aux mathématiques,

» car elle naît de la perception de l’iden- » tilé ; et celte perception peut encore » avoir lieu quand même les idées dont » on s’occupe n’auroient pas l’étendue pour » objet. ( i) »

(0 Extrait d’une dissertation imprimée à Berlin