CHAPITRE V

Ainsi,

1'j=iX2X3.

En général, soit un nombre n de lettres, a, b, c,d, et supposons déjà connu le nombre P,, des permutations de [n — i) lettres.

Considérons à part une des n lettres, et écrivons cette lettre à la droite de chacune des permutations que donnent les (n — i) autres lettres; il on résulte P,, |iermutations do n lettres, terminées par la lettre qu’on avait d’abord isolée. Or, comme on peut ainsi mettre à }>arl chacune des n lettres, il s’ensuit que le nombre total des permutations de n lettres est égal à P»,X//.

En termes abrégés,

Soit « = a ; P„, désigne alors le nombre des iiermutations qu’une seule lettre peut donner ; donc P,, = P, = i ; et l'on a

Soit A = 3; P„| exprime le nombre des permutations do (3 — i), ou do a lettres, et est égal à i x a. Ainsi

Soit encore n = 4 ; P,, désignant, dans ce cas, le nombre des permutations de 3 lettres, est égal à i x 2 x 3 ; d’où

P, = Pj X 4 = I X 2 X 3 X 4.

On voit donc que la formule P„= P,, x « renferme tous les cas particuliers du problème proposé. Ainsi, rien n’ompêcherait de traiter tout d'abord le cas général, sauf ensuite à faire successivcmcnt/j = i,a, 3,4,--

146. Deuxième problème. — Un nombre m de lettres n, b, c, rf, ... e'tant donné, iléterminer le nombre A, des arrangements n à n que l'on peut former avec ces m lettres, m étant supposé plus grand que n.

Pour résoudre sur-le-champ cette question générale, supposons déjà connu le nombre A,., des arrangements (« — i) à (« — 1) que l’on peut faire avec les m lettres.

menu oA, ba^ est do pure convention. Nous aurions pu egalement convenir de faire occuper à la lettre c la première place ù gnuebe, ou mémo de Técriro entre les lettres et 6 ou b et a; mais cette place une fois assignée, elle doit rester invariable pour toutes les permutations à ciécuter : sans quoi il en rcsuUorait des répétitions.

TnÉORIE DES COHRIEAISONS. :m3

Considérant un quelconque do ccs arrangements, écrivons à sa droite chacune des lettres qui n’y entrent jws et dont le nombre est nécessairement m — {/I — i) ou (/H — « 1); il est évident que l’on formera ainsi

un nombre [m — « -i- 1) d’arrangements de n lettres, différant tous entre eux par 1a dernière lettre.

Considérons un nouvel arrangement de (« — i) lettres, et écrivons à sa droite les (n; — » -t- 1) lettres qui n’en font pas partie; nous obtiendrons encore un nombre (m — n -t- i) d’arrangements de n lettres, différant tous entre eux ot différant des précédents, au moins par la disposition d’une des (« — i) premières lettres. Comme d’ailleurs on peut considérer à part chacun des A,, arrangements (« — 0 ^ — ')t écrire successivement

è sa droite les (m — n -+■ i) lettres qui n’y entrent pas, il s’ensuit que le nombre total des arrangements de m lettres n à n est exprimé par

A.= A.,(/h -/IH-l).

Veubon maintenant trouver, comme cas particuliers, les nombres d’arrangements de ni lettres a à 2, 3 à 3, 4 à 4,

Faisons

Il — 2, d’où h; — « H- I = m — I ;

A,-, exprime, dans ce cas, lo nombre total des arrangements {2 — 1) à (2 — I ), ou I à 1 , et est, par conséquent, égal à m ; donc la formule devient

A, =rr A, ( m — I ) =- ni ( m — 1 ).

Soit

n = 3, d’où «I — » -i- 1 = Hi — 2 ;

il en résulte

Aj= A,(/« — 2) = ni(m — i)(m — 2).

Soit encore on obtient

n = 4, d’où m — n -h i — m — 3 ;

A,-= Aj(w — 3) -- in[ni — i)(n; — 2)(/« — 3), et ainsi do suite.

N. B. — D’après la manière dont les cas particuliers ont été déduits do la formule générale, on peut conclure que cette formule développée revient à

A,= m\m — i)[ni — 2)(«< — 3). . .(/« — n i); c'est-à-diro que A, est t'gnl au produit des n nombres consécutifs, décrois-

CHiPITBB V.

sont depuis m inchuioement jusqu'à m — [n — \ ) ou (m — n aussi inclusivement.

Il est d'ailleurs facile do déduire de cotte formule développée celle du numéro précédent, c'est-à-dire la valeur de P„ aussi développée.

En effet, on a vu {14-i) que les arrangements deviennent des permutations lorsqu'on suppose le nombre dos lettres qui entrent dans chaque arrangement égal au nombre total dos lettres considérées.

Ainsi, pour passer du nombre total des arrangements do m lettres, n à », au nombre de permutations do n lettres, il n'y a qu’à faire, dans le ■ développement ci-dessus, m // ; ce qui donne

Renversant l’ordre des facteurs, et observant que, le dernier facteur étant I , l’avant-dernier est a, le précédent 3, . . . , on obtient, pour le développement de P„

expression dont les facteurs ne sont autre chose que les nombres entiers consécutifs compris depuis i inclusivement jusqu’à n inclusivement.

147. TboisièME PBODLÈUE. — Déterminer le nombre total C, des combinaisons différentes que l’on peut former avec m lettres prises n à n.

11 est évident que, pour obtenir tous les arrangements possibles de m lettres n à n, il suffirait do faire subir aux n lettres de chacune des C, combinaisons toutes les permutations dont ces lettres sont susceptibles. Or une seule combinaison do n lettres donne, comme on l’a vu, P, permntations ; donc G,, combinaisons de n lettres doivent donner C, x P, arrangements n à n. Et, comme on a d’ailleurs désigné par A, le nombre total des arrangements, il s’ensuit que les trois quantités A„, P„ C, sont ées entre elles par la relation

A„ = C, X P, ; d’où l’on déduit C„ ~ •

Mais on a trouvé (146)

A.= A,x (m - n -I- i), et (145) P.-P,,xn.

Donc enfin,

P,,xn ~P,

Comme A,., exprime le nombre total des arrangements (n — i)à(n — i), que P,, exprime le nombre total dos permutations de ( n — i ) lettres, il

Digiliz':'

Gofigli^

BINdKR DB NEWTON.

s’ensuit que exprime le nombre dos combinaisons difTérentes do m

IcUres [n — i) à (n — i).

D’après cela, soient demandés, comme cas particuliers, les nombres des

combinaisons 2 à 2, 3 à 3, 4 à 4,

Faisons n = 2, auquel cas p^> exprimant le nombre des combinaisons (2 — i) à (2 — i), ou I à I, est égal à »i; la formule ci-dessus devient

m( ni — I )

Faisons n - 3, auquel cas exprime le nombre des combinaisons

2 à 2, ou est égal à

la formide devient

m{ni — \)(m — 2)

On trouverait de môme

r — ”»(”»- Of*” — »)("» —3)

pour le nombre des combinaisons 4 à 4. •••. et, on général, pour le nombre des combinaisons n à n, on a

^ ffj(m — 1) (m — a)(wi — 3) ...(/» — /» -f- 1)

cest l expression p — ^ - — • développée.

N. 13. — Celle dernière expression n’a aucune signification lorsqu’on y suppose rt = I ; et cela tient à ce qu’elle no donne un certain nombre de combinaisons inconnu qu’en fnnetion d'un autre nombre do combinaisons déjà déterminé. Or les combinaisons les plus simples sont les combinaisons une à une dont le nombre est m. Ce n’est donc qu'à partir de n 2 que la formule est applicable.

DÉMONSTRATION DE LA FORHCLË DU DLNÛHE.

148. Pour découvrir plus aisément la loi du développement de la puissance Di"”* du binôme x -t- «, nous commencerons par observer la loi du

ClUl’ITBE V.

produit de plusieurs binômes x -h n, b, x c, x il, ayant un premier terme commun, et dont les seconds termes sont différents. (Cet artifico a pour but d’empêcher la réduction des termes semblables.)

1" produit : x’-r n