DI.NUME DE NEWTON

Soit donc

A;c"-' + -H C j”-’ 4- . . , - t- Mx"-*+' 4- N j:"-" 4- ... 4- U

le produit des m facteurs binômes (N.r”‘" représentant un terme qui en a n avant lui, et celui qui le précède immédiatement).

Soit d’ailleurs x 4- f le nouveau facteur introduit; on a pour le produit ordonné

Déjà la loi des exposants est évidemment la même.

Quant aux coefficients : i° celui du premier terme est V unité;

2° A 4- /, ou le coefficient do sd", est aussi la somme des seconds termes des (/n 4- i) binômes;

3“ B est, par hypothèse, égal à la somme des produits différents 2 à a des seconds termes des m premiers binômes; kl exprime la somme des produits de chacun des seconds termes des m premiers binômes, multiplié par le nouveau second terme /; donc, h + kl est encore la somme des produits différents deux h deux des seconds termes des ( ra 4- 1 ) binômes. . , .

Et, en général, puisque N exprime la somme des produits n à /> des seconds termes des m premiers binômes, et que M/ représente la somme des produits [n — 1) à {« — i) de ces seconds termes multipliés par le nouveau second terme l, il s’ensuit que N 4- M/, ou le coefficient qui, dans le polynôme de degré (m 4- i), en a /? avant lui, est égal à la somme des produits différents n h n des seconds termes des (m4-i) binômes. Le dernier terme üf est d’ailleurs égal au produit des (ot4- i) seconds termes.

Ainsi la loi de composition, supposée vraie pour le produit d’un nombre m de binômes, l’est aussi pour un nombre (//i 4- i); donc elle est générale.

Concevons actuellement que, dans le produit effectué de m facteurs binômes X 4- a, X 4- 6, X 4- c, X 4- rf, . . . , on fasse a = b = c — d, . . .\ l’expression de ce produit (x4-a) (x4-ô) (x4-c). . . se change en (x 4- a)".

Quant à son développement, les coefficients étant

ab ■

- ad ■

abc 4- abd 4- aed -

' le coefficient do x"”' devient

ai8

CHAPITBS V.

c’cst-à-dirci a pris autant do fois qu’il y a de lettres a, c, et se réduit, par conséquent, îi ma.

2" Le coefTicient do .r"-’ se réduit à n’+ n’. . . , ou bien à aubint do fois a’ que l’on peut former de combinaisons dilTérontcs avec m lettres multipliées a à 2, ou bien enfin (147) à

m tf .

3° Le coefficient de .r"'’ se réduit au produit de a* multiplié par le nombre do combinaisons dilîérentcs do m lettres prises 3 à 3, ou bien à

En général, si l’on désigne par le terme qui en a un nombre n

avant lui, le coefficient N qui, dans l’hypotlièsc oii les si-conds termes des binOmes sont différents, est égal à la somme do leurs produits a à a, se réiluit, lorsqu’on les suppose tous égaux, à a" multiplié |iar le nombre des combinaisons différentes que peuvent donner m lettres prises a à a.

Ainsi (147)

A„ , (ai — a -H i)

Donc, enfin, on a la formule

et a — w -t- i)

149. Pour pou que l’on jette les yeux sur les différents termes do ce dévelopjiement, on reconnaît une loi .simple d’après laquelle un ooofiieient du rang quelconque so forme au moyen du coefficient précédent.

Le coefficient d’un terme de rang quelconque se forme en multipliant le coefficient du terme précédent par l'ex/mscmt de x dans ce terme, et divisant le produit par le nombre des termes qui précèdent celui que Von considère.

En effet, prenons le terme général (on l’ap-

pelle terme général parce qu’en faisant successivement a = a, 3, 4,. . . on peut en déduire tous lus autres). Le terme qui le précède d'un rang

CONStQDKNCES DE LA POMDLE DI} BINÔME. aip

est évidemmcnl p’- nar exprime le nombre des comhi-

naisons (« — i) à (« — i). Or on voit nue le coefficient - ’ ~ 0

est égal au coefficient ~=i qui le précédé, multiplié par (/» — /i -i- 1), ex-

posant de a dans ce terme, cl divisé par n, nombre des termes qui précédent celui que l’on considère. C'est dans cette loi, duc à Newton, que consiste princiiwlement formule du binôme. Elle sert à développer une puissance particulière, sans qu’on soit obligé d'avoir recours à la formule générale.

Soit, par exemple, proposé do développer (a: -t- a)'. On trouvera, d’après cette loi,

(jr -i- o)* = ioà'3? i5a'a:’-+- 6o*x -h ef.

Après avoir formé les deux premiers termes, ce qui n’offre aucune difficulté, d'après les termes de la formule générale majf^' on

multiplie 6, coefficient du second terme, par 5, exposant do x dans ce terme, puis on divise le produit par a, ce qui donne i5 pour coefficient du troisième terme. Pour obtenir celui du quatrième, on multiplie i5 par 4, exposant do x dans le troisième terme, et l’on divise le produit par 3, nombre des termes qui précèdent le quatrième, ce qui donne ao ; et ainsi de suite pour tous les autres termes.

On trouverait pareillement

( j: -t- n)'*=r a;'*-!- lonx® -i /^bd‘3^ , laoo’x’-r-

— aSaa'x* -i- aior/x* -t- laon’.r’ -i- -t- ion*jr + n'°.

Nous reviendrons plus loin sur la manière de développer les puissances des expressions algébriques.

CONSÉOCENCES DE LA FOIUlüLE DU BINÔME ET DE LA TnÉOBIE DES COMBINAISONS.

150. Première conséquence. — L’expression (.r -i- o)”* étant composée de la môme manière en a et en x, il doit en être ainsi pour son développement; donc, si ce développement renferme un terme do la forme il en a nécessairement un autre égal à ou Kn’"~“x”.

Ces deux termes y sont évidemment à égale distance des deux extrêmes, car le nombre des termes qui précèdent un terme quelconque étant marqué par l’exposant de a dans ce terme, il s’ensuit que le terme Kn"x"’^ en a n avant lui, et que le terme Kn""*x" on a m — n avant lui, par conséquent n après lui ( puisque le nombre total des termes est /» -t- 1).

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aao

cnAPiTnE V.

Ainsi, dans le développement de toute puissance d'un binôme, les roef- Jlcients des termes également distants des deux extrêmes sont égaux entre eux,

’N. b. — Dans les termes les deux coefRcients ex-

priment les nombres de combinaisons dilîdrentcs « à n cl [m — n) à (ni — n), que l’on pimt former avec ni quantités; ainsi on peut encore conclure que le numbre des combinaisons différentes de ni ijuantités n à n est égal au nombre de combinaisons (m — n) de ces mêmes quantités.

Par exemple, douze quantités combinées 5 à 5 donnent le même nombre de combinaisons que ces douze quantités combinées (12 — 5) à (12 — 5), ou 7 à 7.

Cinq quantités, combinées 2 à 2, donnent le môme nombre que cinq quantités combinées (5 — 2) à (5 — a), ou 3 à 3.