Seconde conséquence. — Si, dans la formule générale

( J -f (7)"= ma.ê“-' ni — -1 o’.r*"’-*- . . .

on suppose xz=\,a = \, elle devient

(i 4- 1)" ou 2"

c’est-à-dire que la somme des coefficients des différents termes de la formule du binôme est égale à une puissance de a, d'un degré marqué qiar m.

Ainsi, dans la formule particulière

(x-H «)*= 5n.r*-(- lorPx’-t- iorPx’4- ba'x 1- a? ,

la somme n- 5 -h 10 4- 10 -t- 5 1 des coefficients est égale à 2' ou 3a.

Dans la dixième puissance (149), la somme équivaut à a" ou 1024.

482. Troisième conséquence. — Le produit de p nombres entiers consécutifs, compris depuis (m — -t- 1 ) jusqu'à m inclusivement, est divisible

par le produit de tous les nombres entiers depuis i jusqtêà p ; c’est-à-dire que l’on a

égal à un nombre entier. En effet, il résulte de ce qui a été dit au n“ 1 47 que cette expression représente le nombre des combinaisons différentes p à p, qu'on peut former avec m lettres. Or ce nombre de combinaisons doit

Digiti/fod by Cooglc

EXTHACTIOM DBS RACIKES DES NOHBSES EKTIEES.

être, par sa nature, un nombre entier; donc l’expression ci-dessus est nécessairement un nombre entier.

Nous engageons les élèves à rechercher, do celle propriétéf une démonstration indépendante de la Théorie des combinaisons ou do la formule du binôme, en les prévenant toutefois que la question, assez facile à traiter pour les premières expressions

w {m — t) /« ( /H — I H III — 2 (

offre plus de difBcuIté dans le cas général.

§ II. — ExTHACTIO.N des RACI.VES DES NOMBUES PAETICULIEBS.

Les procédés particuliers do l’extraction de la racine carrée et de la racine cubique d’un nombre ayant été exposés avec détail dans notre Arithmétique, nous nous contenterons do développer ici le procédé do l’extraction des racines en général, procédé qu’il sera ensuite facile d'appliquer aux cas particuliers de l’extraction de la racine 4‘, 5‘, . . . .

IS3. Procédé de ta racine rt’^ d'un nombre entier (*).

Désignons par N un nombre entier quelconque, et par n le degré do la racine qu’on veut en extraire.

D’abord, comme la puissance de lo, ou lo”, est exprimée par l’unité suivie de n zéros et représente lo plus petit nombre do « -f- i chiffres, il s’ensuit que, si N n’a pas plus do n chiffres, sa racine n’a qu’/i/i seul chiffre; et pour l’obtenir, il suffit de former les n'’”" puissances des tlix premiers nombres i , 2, 3, . . . , g, 10 ; le plus petit des deux nombres dont les tP"" puissances comprendront N sera la racine demandée.

Mais lorsque N est composé de plus do n chiffres, sa racine a plus d’un chiffre et peut alors être regardée comme ne renfermant que des dizaines et des unités. Or, en représentant par a les dizaines et par b les unités, on a (li8)

N 1= [a -f- ô)"= nd'-'b -i- n—~— té^’b’-i-, . . ,

c’est-à-dire que lo nombre proposé contient la té^ puissance des dizaines, plus n fois te produit de la(n — i)'"'' puissance des dizaines par les unités, plus une suite d’autres parties qu'il est inutile d’énumérer.

Cela posé, la puissance des dizaines no pouvant donner d’unités

(*) Pour bien comprendre ce procédé, il faut «'être déjà rendu compte d«« procédés d’extraction de la racine carrée et de la racine cubique.

îjy CaOO^lc

CUAriTHK V.

(l’un ordro inférieur it l’unité suivie do n zéros, les n derniers chiiïrcs ù droilt! n'en peuvent faire juirtic ; il faut donc les sé[>arer, et extraire la racine de Ij plus grande puissance contenue dans la partie à gauche : cette racine exprime les diuiincs do la racine cherchée ( * ).

Si celte (larlie à gauche renfermait encore plus do n chilTres, on serait conduit à en séi>arer les n derniers chillres à droite, et à extraire la racine de la plus grande n“"“ puissance contenue dans la nouvelle partie à gauche; et ainsi do suite.

Rkgle oÉNÉnALE. — Aprds avoir partagé ainfi Ic nombre N entranches (le n chijfrcs { la tranche le plus à gaucho pouvant cependant avoir moins de n chiffres), on extrait la racine de la pins grande n‘'“" paissance contenue dans cette première tranche à gauche, ce qui donne le chiffre des unités de l'ordre le plus élevé de la racine loUile, ou le chiffre des dizaines de la racine du nombre formé par les deux premières tranches à gauche. Retrandumt ta puissance de ce chiffre de la première tranche ii gauche, on obtient un reste r]ui, suivi de la seconde tranche, contient encore « fois le produit de la (« — i)*“ puis.sance du chiffre trouvé ( lequel est censé exprimer les diziiinos) par le cbiffnî suivant, plus une suite d'autres produits. Mais a; premier produit no peut évidemment donner d’unités d’un ordre inférieur à lo”-' ; ainsi les (« — i) derniers chiffres de la seconde tranche n’en sauraient faire |wrtie. Il suffit donc d'abaisser à côte du reste correspondant ù la première tranche le premier chiffre de la seconde; et si, après avoir formé n fois ht (a — \)“““ puissance du premier chiffre de la racine, on divise par ce résultat le reste suivi du premier chiffre de la seconde tranche, le quotient ex[irimera le second chiffre de la racine, ou un nombre plus grand. Pour éprouver ce chiffre, on l'écrira il ht droite du premier, puis on élèvera l’ensemble de ces deux chiffres à la puissance, et l’on retranchera, si cela est possible, la puissance obtenue de l'ensemble des deux premières tranches (**), ce qui donnera un nouveau reste « côté diu/uel on abaissera le premier chiffre de la troisième tranche ; puis on divisera le nombre ainsi formé par n fois la (n — I puissance de renscmble des deux chiffres déjà trouvés à la racine, ce qui donnera le troisième chiffre de la racine.

On continuera cette série d’opérations jusqu’à ce qu’on ait abaissé toutes les tranches.

(*) f’a/r 1.1 dpniODbtrition de co principe, pour la racine carrée et la racine cubique {Arithm., n"* 178, 191, aij* édition); vous cénératiscrex ensuite.

(**) Nous u'avons pa» L>o»oiii de dii'o que, la sonatraclion ne sc faire, c'eat que le second chiflVe trouve a la racine est trop fort; cl alors on le (ù'minud d'une ou de plusieurs unités^ jusqu’à cc qtic la soustractiuii puisM.* s’cfliKilucr.