en une série qui procède suivant

oppement est possible; car revient à «(«'-+- b'x)~^; et, en ap-

o = ko! — a,

354 C'BAPITmB V.

d’où l’on déduit la valeur de A,

A étant égal à -,i quand on a x o, doit conserver la même valeur

lorsque x est quelconque, puisque A est indépendant do x. Ainsi, quel que soit x, l’équation (a) se réduit à

/ ha' I X ■+- Cn' I x‘-t- Dfl’ I x* -t- . . . I

ou, divisant par x,

Ba'-t-Ca' X -f- Da' x’-H...

Cetto équation devant encore so vérifier pour toute valeur de x, Ëiisons X = o ; il en résulte

Bii'+ A 6'= o;

d’où l’on tire

„ Ab' n "

Comme B doit conserver cette mémo valeur, quel que soit x, supprimons dans (3) le premier terme Ba'-i- Ab', qui s’anéantit par cette valeur de B, et divisons par x ; il vient

Cfl'-r-Da' x-+-Ea' x*-!-... 1

--Bé'-t-Cé' -ihb' (

Faisons de nouveau x o ; il en résulte Ca'-i-hb'= O,

d’où l’on déduit

„ hb' .. ^ ab' b' ali'

C = ;î ) ou bien C= nX — -3 — —

a a' li a^

On trouverait de même

D«'-Cé O,

CA' ab‘' b' nb"

D=— — , ou D=-„ X i- ïTi

et ainsi de suite.

. Dinitized hi/I^ooqlt

HÉTnODES DES COEFFICIENTS INDÉTEKHINÉS. 255

Il est aisé do reconnalire qu’un coefficient quelconque so forme au moyen du coefficient qui précède, en multipliant celui-ci par — ainsi l'on a

a a ah' ab'^ , «A” . ab‘‘

1 — D— = -/• a — îT ir — 5" •* —

180. En réfléchissant sur les raisonnements qui précèdent, on voit que le principe fondamental de la méthode des coefficients indéterminés consiste en ce que,

Si une équation de la forme

M -t- Nx ^ Pæ’-+- Qx’-t . . . O

(M, N, P, ... étant des coefficients indépendants do x) doit se r>érifter, quelque valeur que l’on dorme à x, il est necessaire que chacun des coefficients soit séparément égal à o.

En effet, puisque ces coefficients sont indépendants de x, dès qu’on parvient à les déterminer d’après les hypothèses particulières faites sur X, ces valeurs seront celles qui leur conviennent lorsqu’on suppose x quelconque. Or, en faisant x = o, on trouve M = o ; et l’équation so réduit, après la division par x, à

N -t- Px Qx’-f — o;

faisant, dans cette nouvelle équation, x =r o, on trouve N = o ; et l’équation se réduit, lorsqu’on a divisé par x, à o = P -4- Qx 4- ... ; et ainsi de suite. On a donc séparément

Ce principe s’énonce encore d’une autre manière :

Si une équation de la forme

a 4- bx 4- cx‘ ■ (bd + ~ a' -i- b' x c'x’ d'jd . . .

doit être vérifiée, quelque valeur que l ’on donne à x, les termes affectés d'une même puissance dans les deux membres sont respectivement égaux.

En effet, après la transposition de tous les termes dans le second membre, l'équation est de môme forme <iuo ci-dessus ; d’où l’on déduit

fl'— fl=o, b'—b=o, c'—c — o,...,

et par conséquent,

a' ~ a, b'— b, c'—e, tl'—a,....

CBAPITHE V.

On donne (42) le nom ü'cijuation identique à toute (kjuation dont les termes sont ordonnés par rapport à une certaine lettre, et qui doit se vérifier pour toutes les valeurs attribuées à cette lettre, afin de la distinguer d’une rqtinlioii oniinairc, c’est-à-dire d’une équation qui ne peut être satislaite que par certaines valeurs attribué’es à cette lettre.

181. La métho<ie des enejjicients indéterminés exige encore, que l’on connaisse à priori la forme du développement par rapport aux exposants du X. Ordinairement, on suppose que le développement procède suivant les diverses puissances ascendantes, entières et positives de x, à partir de la puissance x“ ; mais quelquefois cette forme n’est pas convenable, et la suite des calculs le fait reconnaître.

Soit, par exemple, à développer l’expression

Posons

5 — ^ — : = A -I- Bx Cx’ -t- Dx^ -i- . . . ;

en chassant les dénominateurs et ordonnant, on trouve