i- 3 Ax 3B

d'où l’on devrait conclure (180)

Or la première équation — i = o est absurde, et indique que la forme cidessus ne convient pas à l’expression mettant cette expression sous la forme ^ x et |H)sant

- ^7-^ — = i(A -i- Bx -t- Cx--+- Dx’i- . ..),

on obtient, toute réduction faite.

ce qui donne les équations

DÉMOKSTBATION DE LA FOnMflE DE BISÔJIE, ETC. sS'j

(l’où l'on lire snccessivcmont

Donc

ou bien,

I ^Lf

= + in-'

c'cst-ki-dire cpic le dé\ e!oppenient renferme dans son expression un terme aiïecté d'un exposant négatif.

182. Demonstratirm i!c lu forimilr {lu binôme pur la méthode des coef- Jicients indéterminés .

Pour faire apprécier la fécondité de la méthode des coefficients indéterminés, nous allons donner une démonstration complète de la formule du binôme, fondée sur cette méthode.

Afin de simplifier les calculs, nous remarquerons d'abord que (x -i- «)’"

|icut SC mettre sous la forme x"

Si l’on pose - = r, et qu'on développe (i

il suffira ensuite de

multiplier ce développement par x", puis de remplacer v par cl l'on

obtiendra le développement de (x -i- a)”.

(Cette transformation a pour objet d'éviter dans le calcul les puissances ■r", x"~',... du premier terme x.)

Ceci admis, soit d'abord m égal à un nombre positif^ {<7 pouvant être égal à 1 , ce qui donne le cas de l'exposant entier).

Posons

(i) (i +x)~i = I -I- Kj B >- -I- C.r-^ -H D/' -i-

(On est conduit h donner celte forme au développement, par la formation des premières puissances entières, et en observant que, |)Our^=: o, le premier membre se réduit à i; d’où il suit que la partie indépendante de r, dans le second membre, doit être égale à i.)

Pour déterminer les coefficients A, B, C, D,. . ., remplaçons, dans l’équation (1), J par i; elle devient

(2) (1 =r I -i- A: Br-(- Ci* -I- Da'-t-

dlff. B.

CRAPITBE V.

(A, B, f.,. . . ont ici fvidcmmoni les mfmes valeurs que ci-dessus, puisqu'ils sont ind(''pen(lanls de toute valeur allributk* à j.)

Retranchant ces deux éciuations l'une do l’autre, on trouve

(3) I (i-+-j)7 — (i-i-s)Ÿ= A(r-s)-hB(/’-z’)

Faisons, pour le moment,

ce qui donne

!-(-/=(/*, i-i-ï=iS'; d’où >■— 2 = u’— I’’; l’équation (3) devient alors

(4) „r,a’=A(r-z) + B0^-2=)-f-CL7^-2*)-(-D0-‘-2>)-e...,

ou, divisant le premier membre par «*— i', et le second par r — z. qui est égal à «’ — i^,

II'- i'*'^ A(.r — 2) -4- B(>-»- Z») -eC(y- 2»)-HD(y-a'l-f

Or, d’après le théorème (31), f' est divisible par « — e; et l’on obtient [lour quotient corrcs[K)ndant,

De même, lé — i>* : « — e est égal à

D’un autre côlé,j'— a’, ■ - i divisés par.» — a,

donnent aussi, |K)ur quotients resjiectifs,

>, v-t-a, va -H a’, ,»->^-/2 -t- .jî’-i- a’,. .

ainsi l'équation (4) revient à

^ B(j-e a) C (j^ ^ ra ^ z')

-H \)(y‘ -1- Z -t- yz' -¥■ a’)

Faisons maintenant z, d’où l’on déduit « = e [d’après les équations

DÉSO.VSTRATIOM DE LA FORMULE DU BIXÔME, ETC. 25g

on a, pour le premier membre,

P iif~' P «r

' ou - — •

Si l’on remet à la place de «' sa valeur (i -t- j)'' ou I A^*- -H -f- C.)-’ -K . . . ,

et à la place de sa valeur i ■+■ r, ce premier membre devient encore /> I -f- A v -H — C -t- . . .

D'ailleurs, le second membre se réduit à

A -e uBj -f- 3Cj'’-i- 4 . . ;

on a donc la nouvelle équation

' : = — — ; — ^ = A + aBr -+- SCv’-i- 4Dr — . . . ,

d'où chassant le dénominateur i -h/, et clTectuant les calculs,

A) Bi'-k^ Dr*-

-t- aB

Comparant (180) les deux membres de cette éijuation identùjur, on obtient les égalités suivantes ;

- = \, ou .i=-; 7 7

^' A = îB-i- A,

donc

4D = Cl

donc

et ainsi de suite.