CHAPITRE VI
( L’artifirc de ces transformations consiste à ramoner l’expression fractionnaire à une autre dont tous les termes soient linéaires ou du premier degrii, on calcidant séparément d’autres expressions qui ne présentent i effectuer que des multiplications, divisions, formations de puissances.)
On trouvera de mémo
log = log ( O -t- i ) -+- log (o — é ) -i- comp. log b comp. log d — 20,
log c/-t-log (« — 2 é-+-/( )-f-comp. log (o — i -t- //' )— I O,
/< et h' étant calculés d’après les formules
log h = log é -t- 2 log c — 2 log /J, log /<' = log 4 -+- log c -h log f/ — log n.
liquations exponentielles .
219. Nous avons exposé (201) une méthode pour résoudre l’équation b, et nous en avons déduit la théorie des logarithmes; mais actuellement que les Tables sont construites, rien ne nous empêche d’en faire usage pour résoudre ces sortes d'équations.
Or, si l’on prend les logarithmes des deux membres de l’équation tf = é, il vient (210)
X X logn = logé;
d’où
log b 1^/
Reprenons, par exemple, l’équation 3'’=i5, qui, par la méthode du n° 201, a donné x = 2,465, à 0,001 près ; on déduit de cette équation
log 1 5 1 . 1 7609 1 26
log3 ~ 0,47712125
L’équation o* = é est dite une équation exjx>nentielle du premier onlrc; mais on peut avoir des équations do la forme
on les appelle équations exponentielles du deuxième, troisième, . . . ordre.
Pour se former une idée de l’expression o**, il faut concevoir que b soit d abord élevé à une puissance d’un degré marqué par x, et que a soit ensuite élevé à une puissance d’un degré marqué par é*.
CALCUL DES EXPBESSIONS ALGEBRIQUES FAB LOGARITHHES. 3o5
De mOme, n* indique qu’après avoir élevé c à la puissance du degré marqué par x, on a ensuite élevé é à la puissance du degré man]ué par J-*, et enfin « à la puissance du degré marqué |«r b'^.
D'après ces notions, prenons les logarithmes des deux membres de l'équation «** = c; il vient
fr'X logn = loge; d'où
“ logrt
ou, en prenant de nouveau les logarithmes,
lo" r
X X logé = log = log loge — log logrt;
log loge — log logrt
(loge étant une fraction décimale, on peut en déterminer le logarithme d'après les Tables, comme on détermine le logarithme de tout autre nombre.)
Soit encore à résoudre l'équation n*'^= d.
Prenant les logarithmes, on a
é“^x logrt = loge/; d’où -
Prenant de nouveau les logarithmes, c' = > et opé-
rant sur cette équation comme sur les précédentes,
X X log c = log = log ( log log -•/ — log logrt ) - log log b.
Donc
log (log log^/ — log logrt) — log logé
On résoudrait par un procédé semblable, les équations exponentielles d'un ordre plus élevé. Ces formules sont exactes, considérées algébrùjucment; mais, dans les applications, il est aisé do voir qu’elles donneraient des valeurs peu approchées, et l'on ne pourrait mémo se former une idée Lien juste du degré d'approximation.
220. Remarque. — Dans le calcul des expressions algébriques, on est quelquefois conduit à prendre le logarithme d'un nombre négatif; mais alors il y a plusieurs cas à distinguer.
Atg. B. 20
CUAPITBE VI.
Supposons d'abord qu’on demande, par logarithmes, la valeur du produit ulic, pour des valeurs particulières de n, b, c. Il faudra, pour cela, faire usage de la formule
logofce = logn -t- logé loge.
Or soient ii = •jt, b — 3, r = 5; en opérant comme si 3 était afft-cté du signe -t-, on trouvera
logrtée = Iog3o.
Mais comme il y a ii/i facteur négatif dans abc, il s’ensuit que le produit clierclié est — 3o.
Soient encore o = 2, é = — 3, e - — 5 ; on aura toujours, d’après la môme règle,
logoéc = log 3o.
Mais puisfiu'il y a drnx facteurs négatif dans abc, il en résulte (jue le produit cherché est — 3o.
(Eh général, un produit est jmsitif ou négatif, suivant que le nombre de ses facteurs négatifs est pair ou impair.)
Soit encore à résoudre, par logarithmes, l'équation
d vient
logx = -log(- 8).
En o()érant comme si 8 était affecté du signe -t-, on trouverait log.c = log 3?. ;
mais une puissance dont l’exposant est - équivaut à la racine 3' de la
5' puissance, et doit avoir le même signe que le nombre sur lequel on effectue CCS opérations. On a donc
Soit, pour nouvel exemple, l'équation 9^ = — 3 ; d’où .r
log (-3)
Comme log 9 = log ( — 3 )’ = 2 log ( — 3 ), il en résulte
log ( — 3 ) ■alog(- 3)
-) solution exacte.
APPLICATION AL’X PROPORTIONS RT PROGRESSIONS, ETC. So^
Mais siTon avait à résoudre l’éiiualion ( — 9)'= 3, comme de( — 9)^ = 3 un tire — 9=3’, on doit en conclure que l iquation proposÉc est absnnle.
On obtiendra, d’après les mêmes principes, la solution des équations suivantes :
•^-( — 8)", -T =4; a^"=4> .T=-jr8;
x = ( — 4)', équation impossible.
Proportions et progressions par rpiotient.
221 . Soit d'abord la proportion o ; 6 ; : c : x ; on en déduit x — —1 d'où, en appliquant les logarithmes,
logar = logé loge — logrt, ou logrt.logé;logc.logJ:j
ce qui prouve que, si ipmtre nombres forment une proportion, leurs logarithmes forment une éiiuidifférence.
Soit maintenant une progression par quotient
'■r: a', b \ c \ il \ e \f\ g \ h \ ....
Il résulte de la définition (191 ) qu’on {>eut l'écrire ainsi :
n b r ri e f b~ c~ il~ e ~ f~ g ’
d'où, prenant les logarithmes de part et d'autre,
log^ = log- = log-^=log- = log-.= .-., ou
logrt — logé = logé — loge = logi — logf/ = logr/— loge
= loge — log/...,
ou bien, enfin,
4log« logé loge logrf loge....
Donc si lies nombres n, b, c,. . . sont en progression par quotient, leurs logarithmes sont en progression par rlijférence. La réciproque est évidente.
Cette proposition rapproche la définition algébrique des logarithmes (207) de la définition que l’on en donne en Arithmétique, savoir, que les logarithmes sont des nombres en progression par différence, correspondant terme pour terme à des nombres en progression par quotient.
CnAPITRE VI.
/V. /?. — Nous avons déjà fait connaître ce rapprocliement dans notre Trnité il' Arithmétirjue (277).
C'est surtout dans la résolution des questions relatives aux progressions par quotient que l'emploi des logaritlimes est utile.
1° Si nous appelons « le dernier terme d'une progression par quotient, nous aurons (192)
u=zatf~', d'où logH = logrt H- (h — i) log^.
Soit, par exemple, proposé de trouver le ao' terme de la progression 3 . g . 27 . 8i
La formule devient
log.r =: logi ■+■ 19 (log3 — loga) = ig(log3 — loga)
(car logi = o), et l'on obtient, tout calcul fait,
logH= 3,3457339 = logaaïC, 84 ;
K = aai6,84 à 0,01 près.
a“ Si l’on veut insérer entre deux nombres donnés o et é un nombre m de moyens proportionnels, on a, pour déterminer la raison (198), la formule
log I) — log II
d’où logi/ = ■
Soient 0 = 3, é = i5, m = 5o; il vient
, logi5 — loga
et l’on obtient, tout calcul fait, '
logi/ = 0,0171581 = logi ,040399;
donc
Veut-on calculer directement le ao' moyen proportionnel, qui est le 21' terme de la progression'? On a
log.r=log2
ao(logi5 — loga) 5i ’
QL'ESTIOXS RELITIVES A l’iNTÊRÊT COMPOSÉ. 3oC)
OU, tout calcul fait,
)ogx = o,ü44igi3 = Iog4, 407489.
Ainsi, le 20' moyen proportionnel est 4,407489.
3" On a trouvé (193), [lour l'expression de la somme des termes.
logS = logfl -f- log(v"— i) — log (y — i).
On voit, d’après celte formule, (pi’il faut commencer par calculer l’expression t", en posant log7"= n \og<j ; après «[uoi l’on obtient aisément
tf—i, et, par suite, log{c/"— i).
Nous aurons bientôt occasion d’appliquer cette formule.
4° Connaissant o, q et n, dans la formule « = o" P'-’ul demander la valeur de n. Or on a
logK= logn -H (h — i) logy; d’où // =
logK — log<7
Soit à trouver le nombre des termes de la progression dont le premier terme est 3, la raison a, et le dernier 6144. On obtient
Iog6i44 — log3
loga
