I I 3aoo
( Le quotient -:r est égal a ii -t- ; mais on négligé la
fraction, comme provenant de l’emploi des logarithmes^
QUESTIONS RELATIVES A l’iXTÉRÈT COMPOSÉ.
222. Une des applications les plus importantes des logarithmes est celle qu’on en fait aux questions sur l’intérêt de l’argent.
Première question générale. — Une somme quelconque étant placée pcmlant un eertain temps à un taux d’inténU déterminé, et en intérêt composé, c’est-à-dire dans la supposition que l’intérêt de chaque, année s’accumule avec le capital de l’année précédente, on demande ce que doit deeenir cette somme au bout du temps donné.
Désignons par a la somme placée, par n le nombre d’années, cl jiar r l'intérêt que rapporte i franc par an (ce n’est autre cho.se que le loo' du taux de l’intérêt do 100 francs).
3io
CHAriTRE TI.
Puisque I fr. rapporte rau bout d’un an, une somme /j rapportera ar \ ainsi, à la fin de la première année, le capital a sera devenu
a -+- ar, ou « ( 1 -i- r) .
Soit n(i-+-r) = «'; ce nouveau capital deviendra, au bout de la deuxième année, «'(i-i-r); donc le cajulal primitif, ou «, sera devenu lui-mème
«'(i-t-r), ou o(i-i-r)’.
On obtiendrait de mémo, au bout de la troisième année, «(i -i- r)’, et, en général, au tout de la n'™' année, «(i -i- r)". Donc, en exprimant par A cette dernière valeur, on a l’équation
A = rt(i + r)", d’où logA = log« + « x log (i -4- r).
Jpptiention. — On demande ce qu’une somme de 3oooo fr., placée en intérêt composé, à raison de 5 pour 100, doit rapporter au bout de 3o ans.
11 suffit de faire, dans la formule précédente,
a — 3oooo, n = 3o, r — = o,o5 :
uni ’
ce qui donne
log A =: log 3ooi)o -t- 3o log(i ,o5). log ui5 = 0,021189*99;
3o log I ,o5 = 0,035117897 Iog3oooo = 4,477i»i'*5
log A = 5, 11280022 = log 129038,27.
Donc
to formule A = «(i -i- r)", renfermant quatre quantités, donne implicitement la solution de giuitrc problèmes diflérents ;
1° DiHcrmuicr A, connaissant a, r et n : c’est la question qu’on v ient <le résouilre ;
2" Déterminer la somme iju’it faii/lrnil placer aetneUement pour rctitrr, au bout de n années, une somme A, en supposant le capital placé à intérêt composé, à raison de r /tour 1 fr.
Or de l’équation A -.= a(i -1- r)" on déduit
logo = logA — n log(i -4- r);
et cette nouvelle formule donnera la valeur de n.
Cette seconde question constitue la règle à'escompie com/xtsc; car elle
DigiiaxiltoXjjogle
QLESTIONS RELATIVES A l’iKTÉRÊT COMI'OSÉ. 3ll
revient à trouver la valeur acluello d'une somme A |>aj able dans « années, en ayant égard à l’intérét de la somme et aux intérêts des intérêts.
3" Détcnnincr le taux d’intérêt aiujucl on doit placer une somme a, pour retirer, nu /mut de a années, en intérêt composé, une autre somme A . La formule serait
d’où log(i
logA — logff
Connaissant i — r, on en déduirait facilement r, et, par suite, le taux d’intérêt pour loo fr.
4” Enfin, déterminer le temps pendant letjuel une somme a doit être placée en intérêt composé, à raison de r pour i fr., /mur rap/mrter une somme A.
La formule serait
logA — logrt
logU-0 ■
Si l’on voulait que A fût double, triple, quadruple, ... de a, la formule se simplifierait.
Soit, en effet, A = mn\ la formule A = a(i r)“ se réduit à
ma — a[i -i- r]‘, d'où « = , ;
lügp -/■)’
c’est-à^lire que la valeur de n est indé/icndanle tlit ca/iital /dacé primitioement.
Seconde ocestio.n génér.vle. — Déterminer cjueUc somme il faudrait placer actuellement /mur recevoir, à la fin de chm/uc année, une somme déterminée b, de manière à être entièrement remboursé du ca/iital, des intérêts du ca/tital, et des intérêts des intérêts, a/irès un nombre n d’années, l’intérêt étant r /mur i fr. par an.
Soit a la somme cherchée ; ce capital deviendrait, au bout do n années,
Il faudrait donc qu'en déterminant ce que les sommes payt-es chaque année deviennent au bout de la n'"", la somme des résultats fût égale ù n(i r)'.
Or b donné à la fin de la première année, ou au commencement de la seconde, devient, au bout do la n"""',
fi(i-s-r)'-'.
De même, b donné à la fin de la seconde, ou au commencement de la
3i2 chapitre VI.
troisième, devient, au bout de la
On trouverait de môme
pour les valeurs des autres sommes ô, au bout de la année. On a donc Téquation
mais le second membre do cette équation, considéré dans un ordre inverse, est évidemment la somme des termes d’une progression par quotient, dont le premier terme est ù, la raison i -f- r, et le nombre des termes «.
Ainsi cette somme a pour expression (183),
ou
donc, enfin, on a l’équation
ou rt
ou, appliquant les logarithmes,
log« = logi> 4- log[(i 4- r)" — rj — logr — // log (i 4- /•).
Cette nouvelle formule, renfermant quatre quantités zz, /z, r, zi, donne aussi lieu à quatre problèmes difierents.
Voici les énoncés de plusieurs questions qui se rattachent aux précédentes :
On demande pour combien d’années on doit placer une somme a, eu intérêt composé y h b et h 10 pour 100, pour doubler cette somme,
{Rép, A 5 pour 100, i4 ans 2 mois; à 10 pour 100, 7 ans 3 mois.)
On demande la somme que Von doit placer à présent pour retirer pendant 1 2 ans y et à la fin de chaque année y une somme de 1 5oo francs y de manière h être remboursé entièrement du capital et des intérêts au bout de ces douze années y V intérêt étant pour 100.
{Rép. 1 iGo2^",9I .)
Un particulier a acheté une propriété de 100000 fr.; et cette somme ■ doit être acquittée en 1 5 payements égaux y eu égard au.r intérêts des
SÊBIES LOGABITBMIQDES. 3l3
intvréls; le taux jwur rhaquc intervalle tic payement est de 5 pour loo. On demande de déterminer la quotité de chaque payement.
(Rép. 9634''', 22.)
Un nombre donné d'hommes a augmenté tous les ans de la centième partie de ce qu'il était l 'année précédente ; combien faut-il d'années fiour (pie ce nombre devienne 10 fois plus grand?
(Rép. 23 1 ans environ.)
On tire cluupie jour d'un baril de i <>o litres de vin un litre qu'on remplace par un litre d'eau ; déterminer : 1“ combien de xnn il restera dans te baril lorsqu'on aura remplacé le 5o* litre ; 2° dans combien de jours le baril .sera réduit h la moitié, au tiers, ou au quart.
Réponse à la première partie de la (iiiestion ; 60 litres i-
Réponse à la seconde partie : 69 jours pour la moitié, 109 jours pour le tiers, et i38 jours pour le quart.
§ IV. — Séries LOGAniTi»iiQi:F.s et exponentielles.
La méthode exposée (201), pour résoudre l’équation a'= b, suffisait pour donner une idée de la construction des Tables de logarithmes ; mais cette méthode est très-laborieuse, et même impraticable, lorsqu’on veut déterminer la valeur de x avec un grand degré d’approximation. Les analystes ont découvert des méthodes beaucoup plus expéditives, soit pour construire de nouvelles Tables, soit pour vérifier celles qui existent déjà ; ces méthodes consistent dans le développement des logarithmes en série.
223. Soit y un nombre dont on demande le logarithme développé en .«■■rie, et appliquons la méthode des eoelTicients indéterminés ( 179 et 181 ).
Il est d'abord visible que l’on no peut supposer
log J = .4 -+- Bj' -t- C.1'’ -I- D^'’ -H ... ;
car si l'on fait o, le premier membre se réduit (213) à l'infini négatif ou à l'infini positif, suivant que la base est plus grande ou plus petite que i ; tandis que le second membre se réduit à A, qui devrait alors être de mémo nature.
On ne peut supposer log v = Xy -t- üjr-i- ..., puisque^' = o donne log O ou — œ = o ;
mais si l’on met y sous la forme i-h jt, et qu’on pose (i) log (i -I- jt) = .Kx -i- hx's- Cx’-i- Dx*-(- ....
CHAPITBE VI.
l'hy|x)lhèso jr = o ne présente plus aucun caractère d'absurdité. Ainsi, cette forme de développement est admissible.
Tâchons de déterminer les coefficients A, B, C,
Pour cela, imitons le procédé suivi (182), cl remplavons x par il vient
(î) log(i -H 2) = Ai H- Bz’-h Dî'-e
Retranchant l’équation (2) de l’équation (i), on obtient (3) los;(i-t-.r) — Iog(i-4-2) = A(j- — 2)-t-B(j’— 2’)-kC(j*— 2*)-(-
Le second membre de cette équation est divisible par j: — 2, et donne pour quotient
voyons donc si, par quelque artifice, on ne jwurrait [«s mottre ce facteur on évidence dans le premier.
Or on a
log(i -H .r) — log(i + 2) = log ■
: lO!
mais pouvant être regardé comme un seul nombre h, on jieut dé-
veloppt>rlog(i k) ou log ^n- — comme on a développé log(i H-.r); a* qui donne
Substituons ce développement à la place do log(i -t- x) — log(i -t- c) dans le premier membre de l'équation (3), et divisons les deux membre.s par .r — 2; il vient
Pui.s<|ue celte équation doit, ainsi que les précédentes, se vérifier, quels que soient x et 2, posons x = 2 ; il en résulte
uBx 3Cx’-t- 4Dx’ 5Ex'-f-. . . ;
ou, cfTectuant la division indiquée dans le premier membre,
A(i — xH-x* — x’-t-x' — ) = A-,- iBx -f- 3Cx’m- 4 Dx’-t- . . . .
SÉRIES LOGARITBVIQL'ES. 3l5
On a donc, d'après le principe du n” 188, les égalités A = A, -A = 2B, A = 3C, -a MD, A = 5E,
d'où
La loi de la série est évidente : le coefTicient du /t‘"" terme est égal à suivant que it est [wir ou impair; on obtient donc enfin, pour le développement de log(i h- x),
/ .r x’ jp x‘ X* .1^
\ I a 3 4 5 li
22 i. y. S.~- Par la méthode précédente, les cocITirients B, C, D, E,. . . ont tous été déterminés en fonction de A ; mais ce dernier coefiicient est resté complètement indéterminé. Or cela doit être d'après la nature de l'expression que l'on s’est proposé de dévclopficr ; car, puis([u’on peut former une infinité de systèmes de logarithmes, il faut qu’il existe dans le développement général de log{i -i- x) une quantité tout à fait arbitraire, (jui serve à distinguer les systèmes les uns des autres. D'ailleurs, on a vu (212) que les logarithmes d’un même nombre, pris dans deux systèmes, ne diffèrent que par un facteur, cnnstmu /mtr tons les nombres; ainsi la quantité indéterminée doit être un facteur commun à toute la série; et c'est pour cette raison que l’on a trouvé
Le nombre A est (212) le module dont la valeur particulière caractérise le système de logarithmes que l’on veut considérer.
22.'). L’hv|K)thèse la plus simple qu’on puisse faire consiste à supposer A = I ; cl l’en a, en désignant par /.(i -i- x) ce système particulier de logarithmes,
Si l’on donne à x toutes les valeurs possibles, on formera successivement tous les logarithmes de ce système, lequel a reçu le nom de Srstème naliirel ou Système nèitèrien (du nom de A'éper, qu’on regarde comme
