DISPARITION DES DÉNOMINATEURS

rendra évidemment les coefTicients entiers en prenant pour / /<• i>ins petit multiple de tous les dénominateurs.

Mais on peut encore simplifier davantage, en observant que tout se réduit à déterminer i do manière que . . contiennent les facteurs

premiers qui composent b, d, f, h à des puissances au moins égales à celles qui entrent dans ces différents dénominateurs.

Ainsi soit l’équation

x' — 7 .td x^ i-x = O.

t) 12 ISO yooo

Posons X = 7 ; il vient

, 5/- , 5X’ , yP i3/!'

b ■ 12 i5o yooo

Soit fait d’abord k égal à 9000, qui est multiple de tous les autres dénominateurs; il est clair que les coefficients deviendront des nombres entiers.

Mais si l’on décompose C, la, i5o et 9000 on leurs facteurs, on trouve

et en faisant simplement ^ = 2x3x5, produit des facteurs simples différents, on obtient

d’où l’on voit que les valeurs de /, /•’, P contiennent les facteurs pre-

miers 2, 3, 5, à des puissances au moins égales à celles qui entrent dans 6, 12, i5o et 9000.

Donc l'hypothèse ^ = 2x3x5 = 3o suffit pour opérer la disparition des dénominateurs. Il vient, en effet, par la substitution

ou, réduisant,

.y ' — 5.5. 7-’ -t- 5.3.5’.j-’ — 7.2’. 3’. 5./ — 1 3. 2. 3’. 5 = 0, ou bien enfin

— xSj ’-h 3y5j-’~ i2Go»- — 1 170 = o.

Il y a des circonstances où l’on est obligé, dans l’expression de k, d’aug-

cnAPiTnt VII.

nientcr l’exposant de l’un des facteurs premiers d’une ou de plusieurs unités; mais on doit sentir la nécessité de ne prendre pour /. que le plus petit nombre possible, autrement on obtiendrait une transformée dont les coefficients seraient extrêmement grands, comme on peut en juger en calculant la transformée résultant de la supposition de 4 = 9000 dans l'équation précédente.

Voici de nouvelles applications .

1 1 aS

d’üù —

d'où

— - — > ou •l'.S.i

Oo’

7"’ — 657 ' 1 8go/’ — 80710 r’ — 9188007' h- 971000 = o.

2fiC. Les transformations précédentes sont celles dont Tusage est le [dus fréquent. Il en est encore d’autres assez usitées; mais comme elles sont trop simples pour être traitées séparément, nous n’en parlerons que quand l'occasion s’en présentera.

En général, le problème des transformations doit être regardé comme une application du problème de \' élimination entre deux équations d'un degré quelconque à deux inconnues. En effet, une équation étant donnée, supposons qu’on veuille- la transformer en une autre dont les racines aient avec celles de la projiosée une relation déterminé-c.

Désignons par F{ j:) = o l'équation proposée (qui s’énonce fonction t/ex égale o), et par f(x, y) = o l’expression algébrique de la relation qui doit exister entre la première inconnue, x, et la nouvelle, y; la question SC réduit à tâcher, au moyen de ces deux équations, d’en obtenir une troisième qui ne contienne que y : ce sera alors l’équation demandée. Lorsque l'inconnue x n’entre qu’au premier degré dans /{x, y) = o, la transformée est facile à obtenir ; mais si elle y est élevée à la seconde, à la troisième,,., puissance, il faut avoir recours aux méthodes d'élimination.

Donnons une première idée do cette théorie qui joue un si grand rôle dans l'analyse algébrique.

I)R l’êliiiin*tion.

£liuination. — Première Partie.

267; tUmincr une inconnue entre deux étjuntions d'un degré quelconque h deux inconnues, c’est parvenir, après une suite d’opérations cséculées sur ces équations, à une seule équation qui ne renferme que l'une des inconnues, et qui donne toutes les valeurs de cette inconnue, propres à vérifier les deux équations en même temps que des valeurs correspondantes de l’autre inconnue.

L'équation, /o/!rt/o/j de l’une des inconnues, à laquelle on parvient, se nomme équation finale; et les valeurs de l'inconnue, tirées de celte équation, sont appelées valeurs convenables.

De toutes les méthodes d’élimination connues, la méthode par le plus grand commun diviseur est, en général, la plus expéditive; aussi c’est celle que nous allons développer ici.

Soient*

ou, plus simplement,

les équations proposées.

Sujiposons Véquatinn finale en y obtenue, et tâchons de reconnaître quelque propriété des racines do cette équation, qui puisse nous servir à la former.

Soit jr = 6 l’une des valeurs convenables de y- Puisque cette valeur vérifie les deux équations conjointement avec une certaine valeur de x, elle doit être telle que, si on la substitue à la fois dans les deux équations, qui ne renfermeront plus alors l’inconnue y, ces équations admettent au moins une valeur commune pour x; et à cette valeur commune doit nécessairement (237) correspondre un commun diviseur en x. Ce commun diviseur sera du premier degré en x ou d'un degré supérieur, suivant qu’à la valeur particulière = 6 il correspondra une ou plusieurs valeurs de x.

Réciproquement : toute valeur de y, qiu, substituée dans les deux équations, leur donne un commun diviseur en x, est nécessairement anc valeur convenable; car alors elle vérifie évidemment les deux é<iuations en même temps que la valeur ou les valeurs de x tirées de ce commun diviseur égalé à o.

268. Remarquons d’ailleurs ayè avant aucune substitution les premiers membres des équations ne peuvent avoir de commun diviseur, fonction

GBAPITRB Ttl.

des dcui inconnues ou de l’une d’elles seulement, à moins que les l'quations ne soient indéterminées, ce qu’on ne suppose jws.

Admettons, en effet, pour un instant, que les équations A= o, B = o, soient de la forme

A'xD = o, B’xD = o,

D étant fonction de x et de x-

En ]X)sant séparément D = o, on obtient une seule équation à deux inconnues, qui peut être satisfaite par une injinité de systèmes de valeurs. D’ailleurs, tout système qui anéantit D rend également nuis A'D, B D, et satisfait, par conséquent, aux équations

Ainsi riiypothèse do l’existence d’un commun diviseur en x et v entre les deux polynômes A et B entraîne la conséquence que les équations pro|>osées sont indéterminées, c’est-i-dire susceptibles d'étre satisfaites par une infinité de systèmes de valeurs de x et de y- r>ès lors il n’y a pas lieu de déterminer une éijuaii m finale en j-, puisque le nombre des valeurs de est

Si D était fonction de x seulement, on concevrait l’équation D = o résolue par rapport à x ; ce qui donnerait une ou plusieurs valeurs pour cette inconnue. Chacune do ces valeurs, substituée dans A' x D = o et B' X D = o en même temps qu’une valeur de y tout à fiiit arbitraire, %>érifierait ces deux équations, puisque D devient nul par l’effet seul de la substitution de la valeur de x. Ainsi, dans ce cas, les deux équations proposées admettraient bien un nombre fni de valeurs pour x, mais une infinité de valeurs pour et il ne pourrait alors exister d’équation finale en y.

Donc, toutes les fois que deux équations A = o, B = o seront déterminées, c’est-à-dire toutes les fois qu’elles n’admettront qu’un nombre limité de systèmes de valeurs pour x et y, leurs premiers membres ne pourront avoir de commun diviseur fonction des inconnues, a\ant aucune substitution particulière faite pour l’une d’elles.,

N. £. — Le cas où A et B auraient un diviseur commun en y ne fait pas exception à la conséquence précédente, puisque alors il y aurait une infinité do valeurs do x qui correspondraient à chacune des valeurs de/ tirées de ce commun diviseur égalé à o.

209. De là il est aisé de conclure un procédé pour obtenir Yerjuation finale en y.

Puisque la propriété caractéristique de toute valeur co/nr/î«é/e de / est que, substituén; dans les premiers membres des deux équations, elle leur

DE l’élimination.

donne un commun diviseur en x qu’ils n’avaient pas auparavant {à moins que les équations ne soient indéterminées, ce qu’on ne suppose pas), il s’ensuit que, si aux r/riix polynômes proposés et ordonnés /wr rapport à X on applique le proeédé pour trotircr le plus grand commun diviseur, on n'en trouvera généralement pas; mais, en continuant l’o/x‘ration convenablement , on parviendra à un reste indépendant de x et jonction de y, qui, égalé à o, donnera l'équation finale demandée ; car toute valeur de^‘, tirée de cette équation, rend nul le dernier reste de l'opération du commun diviseur ; elle est donc telle que, substituée dans le reste précédent, elle rend ce reste diviseur commun des premiers membres A et B. Ainsi chacune des racines de l'équation ainsi formée est une valeur convenable de^-.

270. En admettant que l’équation finale fût complètement résolue, ce qui donnerait toutes les valeurs convenables, il faudrait ensuite obtenir les valeurs correspondantes de x. Or il est évident qu’il suffirait, pour cela, de substituer les différentes valeurs de y dans l’avant-dernier reste, d’égaler surcessivement à o les polynômes en x qui en résulteraient, et de tirer les valeurs de x de l’équation résultante; car ces jiolynômes no sont autre chose que les diviseurs en x qui deviennent communs à A et B.

Mais comme l’équation finale est, en général, d’un degré supérieur au second, nous sommes forcé de renvoyer à un autre Chapitre la seconde partie de la théorie de l’élimination, laquelle partie a pour objet de déterminer tous les systèmes de valeurs propres à vérifier deux équations d'un degré quelconque à deux inconnues.

Nous nous proposons également de revenir sur la méthode qui vient d'étre exposée, parce qu’elle a quelques inconvénients auxquels il faut obvier. Mais notre but était principalement ici do faire voir comment, deux équations d’un degré quelconque étant données, on peut, sans supposer la résolution d’aucune équation, parvenir à une autre équation ne renjermant plus que l'une des deux inconnues qui entrent dans les proposées.

271. Si l’on avait trois équations (i), (a), (3) renfermant les inconnues x,y et Z, pour obtenir l'équation finale en a, c’est-à-dire l’équation qqi admettrait toutes les valeurs do l'inconnue a, susceptibles de vérifier les trois équations en même temps que cerbiincs valeurs do x et do j’, il faudrait, en regardant comme connu, éliminer x entre les équations (■) et (a), puis entre (1) et (3), d’après la méthode du n° 2G9, ce qui conduirait à deux équations en y et a, auxquelles on appliquerait la même méthode pour éliminer/.

Même raisonnement pour quatre équations à quatre inconnues, etc.

cn*riTRE VII.

Pour le moment, nous nous bornerons à une seule application générale (le la méthode d'élimination.