SECONDE TRANSFORMATION

265. Une équation étant donnée, on peut toujours la transformer en une autre dont les racines soient égales à un multiple ou à un sous-multiple donné de celle de la proposée.

CUAPITRS VIL

Reprenons l'équalion

j"-+- Pj:""' -4- -i-...-i-Tx-!-U = o,

et désignons par y l’inconnue d'une nouvelle équation dont les racines soient k fois plus grandes que celles de la proposée. Si l’on pose y = X x, il en résulte

d'où, substituant et chassant le dénominateur du premier terme,

QX’^-*-’-+- R X^/"- -4 TX"- '/ -t- U X"" = O,

équation dont les coefficients sont égaux à ceux de la proposée, multipliés respectivement par X*, X', X’, X’,. . X*.

Cette transformation est principalement utile pour faire disimrafirc 1rs dénnminateurs d'une équation sans donner nu premier terme d'autre coefficient que l'unité.

Soit, pour fixer les idées, l’équation du quatrième degré

Si l’on fait, dans cette équation

/ étant une nouvelle inconnue et X- une indéterminée, il vient

nk

ck^

ek>

Cela posé, il peut arriver deux cas :

Ou les dénominateurs é, d, f, A sont premiers entre eux : dans cette hypothèse, comme k est tout à fait arbitraire, posons X- = bdfh, produit de ces dénominateurs ; il vient

y‘-h adfhy‘-i- cb'd eb‘d*f'A‘y-h gb'd'f'lé = o,

équation dont les coefficients sont entiers, et dont le premier terme a pour coefficient l'unité.

On a d’ailleurs, pour déterminer les valeurs do x qui correspondent

aux valeurs de r, la relation x = y— •

Otijn

Ou bien les dénominateurs renferment des facteurs communs ; et l'on