X -1- Yh 4 tt’ 4- . . . 4- «" = O
on omet le terme X, comme formant le premier membre de la proposée, et l’on obtient une nouvelle équation
dont tous les termes sont divisibles par «, ou, ce qui revient au même, qui est satisfaite par ii = o. Cela doit être, puisque, parmi les différences entre les racines, il faut compter celle qui existe entre chaque racine et elle-même, mais si l’on supprime ce facteur u, l'éciuation ne renferme plus alors que les iHJfcrenccs entre ehacune des racines et toutes les autres. Or ce sont les seules différences que nous aurons besoin de considérer par la suite.
27i. Soit, par exemple, à déterminer l’équation aux différences des racines de ré(iiiation
On a d'abord, en vertu de la loi de formation (263),
ce qui donne les deux équations
X* — Gx — 7=0, 3 x' — 6 -: 3x « -i- u’ = o, entre lesquelles il faut éliminer x.
Si l’on applique à ces deux équations le procédé du n° 269, on obtient,
FORMATIOX PE l’ÉQDATION AUX DIFFÉRENCES.
pour l'équalion finale en u,
C esl l'éiiuation aux différences des racines de la proposée.
1275. Composition et forme de l'cquation aux différences.
On peut reconnaître « priori, pour toute équation du degré m, la forme et la composition de Y équation aux différences des racines de cette équation.
Désignons toujours par x', x’, x",... les racines do la proposée, et observons que, si l’une des différences est x’—x', il y en a nécessairement une autre, x' — x’, qui ne diffère de celle-là que par le signe, c’e^t-à-dire que, si a est une valeur do «, — ot en est nécessairement une autre, de même, Ç étant une racine, — S en est une autre ; etc.
Donc l'équation en « peut être mise sous la forme
(« — a) (h a) (h — e)(«-i- 6)(« — '/)(« -t- y). ..r- O, ou
Donc cette équation est de degré pair, et, de plus, ne renferme que des puissances do degré pair de l'inconnue ; c’est-à-dire qu’elle est de la forme
Le degré an est d’ailleurs égal à m{m — i), ou bien (146) au nombre d'arrangements deux à deux que l’on peut faire avec un nombre m do lettres.
Si, dans l’équation précédente, on pose, pour simplifier, tr - z, elle devient
équation d’un degré sous-double, dont les racines sont les carrés des différences entre x\ x", x”
Car, en mettant dans la relation «’ = 2, à la place de u, ses différentes valeurs -r” — x', x" — x',.. on obtient
L’équation en z s’appelle Yéquathn aux carrés des différences ; et on la considère ordinairement do préférence h l’équation a‘ux différences, comme étant d’un degré sous-double.
.4insi, dans l’exemple du numéro précédent, l’équation aux différences est du sixième degré, c’est-à-dire d’un degré marqué par 3(3 — i)= 6.
CnAPITRE TII.
Elle ne renferme que des puissances de degré pair ; et si l'on pose u‘ = z, elle devient
L’équation aux différences, ou plutôt l'équation aux carrés des dif/ercnces, nous sera très-utile par la suite.
§ 111. — Des équations susceptibles d'abaissement.
On comprend sous ce titre toutes les équations dont deux ou plusieurs racines ont entre elles des relations particulières et déterminées, parce qu'en général on peut faire dépendre la résolution de ces équations de celles d’autres équations de degré moindre ; telles sont les équations qui ont des racines égales, c'est-à-dire dont le premier membre (240) contient des facteurs égaux.
Les méthodes qui se rapportent à ces classes d'équations s’ap[>ellent méihxles d'abaissement, et doivent être regardées, jusqu’à un certain point, comme une branche de la transformation des équations, puisque le but général de cette théorie est de ramener la résolution d'une équation à celle d’une équation plus simple.
Théorie des racines égales.
276. Dire qu’une équation a des racines égales, c’est dire (240) que son premier menibre contient des facteurs égaux ; dès lors, le premier polynôme dérhé, qui (264) est la somme des produits (ni — 1) à («i — 1) des m facteurs de la proposée, renferme dans chacune de ses parties an moins une fuis tout facteur qui entre plusieurs fois dans la proposée. Donc il doit exister un commun dieiseur entre le premier membre de celle-ci cl son premier polynôme dérivé.
Mais de quelle manière ce commun diviseur se compose-t-il au moyen des facteurs égaux de l’équation donnée? C’est ce qu’il s’agit raaintenani d’examiner.
277. On demande de reconnaître si une équation a des racines égales, cl, aulanl rpie possible, île déterminer res racines.
Désignons par X le premier membre de l’équation
x”-i-P2-”-'-+-Qx"-=-s-...-i-Tx ^-U = o;
supposons qu’il renferme n facteurs égaux k x — a, n' facteurs égaux à X — b, u’ facteurs égaux à x — e, . . . , et qu’il contienne en outre les facteurs simples x — p, x — 17, x en sorte que l’on ait
Digilized by Googl
TBËORIB DE9 RÀCII^ES ÉGALES.
Si l’on considère Y, ou le polynôme dérivé de X, on a vu (261) que ce polynôme est encore égal ô la somme i/es quotients de la dà'ision de X fmr chacun des m facteurs de ta proposée. Or, comme X renferme n facteurs égaux à .r — «, on aura d’abord n quotients partiels égaux à
môme raisonnement pour les facteurs x — b, x — c, D’ailleurs on
ne peut former qu’un seul quotient égal à — —> '
Ainsi, Y est nécessairement de la forme Y__^X^ n'\ X X X
D’après a-tle composition du polynôme Y, il est visible que (x — «)"■', (x — 4)“’"', (x — r)"'-',... sont des facteurs communs à toutes les parties do ce polynôme; donc le produit (x — a}"^' (x — b)"'~‘ (x — c)“'~‘.. . est \in diviseur relatif de Y (230). D’ailleurs X renferme aussi évidemment .ce diviseur; ain.-i X et Y ont pour commun diviseur relatif
Je dis maintenant que c’est leur plus grand commun diviseur. En effet, les facteurs premiers de X sont x — n, x — b, x — r, . . . et x — /a, x — q, X — r, or Y ne peut avoir pour diviseur x — p, x — q, X — r, ..., puisque chacun d’eux entre comme facteur dans foutes les parties de Y, une seule exceptée.
Donc, enfin, le plus grand commun diviseur de X et Y («t
D = (x — «)"“'(x — bY~'(x — r)"'"'..
c’est-à-dire que ce plus grand commun diviseur est le produit des facteurs qui entrent plusieurs fois dans la proposée, élevés respectivement a des puissances dont les exposants sont moimlres d'une unité que dans ta proposée.
