CHAPITRE VIII

termes do ces fonctions, on obtienne 3 variations par la première substitution, et 3 permanences par la seconde; c’est-à-dire que l'on doit avoir l'une des deux combinaisons

et ,

ou bien

•' r- et

dont la dernière est la seule admissible, puisque l'équation, est de degré impair.

Or il est évident que les deux premières fonctions X, X, donnent respectivement h et -+- -I-, par la substitution de — <e et de , sans

qu'il en résulte, aucune condition pour p et q.

Mais pour que X„ X, donnent également 1- et -l- -i-, on voit qu'il

faut: i" que p soit négatif; i° que l’on ait — i p' — isy q’ /msitif, ou ip^-f- 277’ négatif, condition qui renferme implicitement la première.

Ainsi la condition nécessaire et suflisanle pour la réalité des trois racines est

4/.’’ 177’< O, OU £ — h-^<o.

Dans le cas particulier de 4 /^’ ■+■ 277’ = Oi comme on a alors X^ = o, il faut néa'.ssairement (3 i7 ) que la proposée ait deux racines égales, qu’on obtiendra en annulant X„ ou pos:int

— •sp.r — 37 = 0, d’où X -= —

Mais la relation supposée donne p — —3 la valeur do x et réduisant,

d’où, en substituant dans

Ainsi deux des trois racines sont égales à

La troisième est nécessairement — 2 puisque l’équation est privée do second terme.

Lorsque l’on a 471’ -t- 277’ > o, une seule racine est réelle, et les deux autres sont imaginaires.

330. M. Sturm a étendu son théorème au cas où l’équation proposée admet des racines égales; mais nous n’entrerons dans aucun détail à ce sujet, puisqu’on peut toujours (281) faire dépendre la résolution de l’é-

SECONDE PARTIE DE l’éLIMINATION. 4^9

quation de celle d’autres équations qui n’ont que des racines sinqiii’s. Il en a également déduit d’autres conséquences fort curieiises, mais qui ne sont pas indispensables pour la résolution des équations.

Nous renvoyons, pour de plus amples détails sur la résolution des équations numériques , aux Ouvrages suivants : Traité de la résniuthn des cqimtinns nitmcriquc!:, par Lagrange ; Sapidénient à la théorie des nombres, par Legendre ; Nouvelle méthode pour résoudre les équations numériques, par M. Budan ; Analyse des équations. Ouvrage posthume do Fourier.

On trouvera dans ces deux derniers Ouvrages un théorème qui a quelque analogie avec celui de M. Sturm, et qui [«rail avoir été découvert à peu près dans le mémo temps [>ar MM. Fourier et Budan. En voici l’énoncé ;

Soient /(j:) un polynôme entier du degré m,f'(x),f'(jc),f"{x),.. . scs dérivés. Appelons p cl q deux nombres réels de signes quelconques (p étant <.q) , et concevons qu’on ait substitué alternativement p et q dans la série de ces fonctions, ce qui donne les deux suites de résultats;

i"Pour/^, /(/>), p{p\, f{p),...,

A” Pour,/, f[q), f(q), rU/)

Le théorème consiste on ce que les sif;nrs de la première suite ne peuvent jamais présenter moins île variations que ceux de la seconde ; et si p et q comprennent un nombre h de racines réelles, la prcmh're suite a au moins h variations de plus que la seconde.

Ce théorème, beaucoup moins explicite que celui de M. Sturm, qui, dans aucun cas, no laisse d’incertitude sur l'existence des racines réelles entre des nombres déterminés, fournit cependant une méthode assez complète de résolution (*).

§ IV. — Seconde partie de l’élimination.

357. Après avoir fait connaître les différents moyens do résoudre, du moins en nombres réels, les équations numériijues d’un degré quelœnque à une seule inconnue, il convient de s’occuper de la résolution des équations à plusieurs inconnues; mais nous traiterons plus particulièrement, dans ce paragraphe, le cas de deux équations à deux inconnues en xet y.

(*) Voir aussi, pour le développement de ce théorème et pour les conséquences qu'on en déduit, une Note placée ù la fin de la édition de mou Algcbrcy et due à M. Vincent, ainsi qtic les Mémoires de la Société rep aie de Lille (année i834) et lo Journal de Mathématiques de M. Liouville, t. I, p. 3:j i.

CD4PITRK VIII.

Pour abréger lo discours, nous conviendrons de donner le nom de couple ou do solution à tout système de valeurs de x et do j' qui, substitué à la fois dans les deux équations, y satisfait.

En outre, désignant par A = o, B = o les équations proposées, nous supposerons que les polynômes A et B soient premiers entre eux, et qu'il en soit do même des coefficients de chacun de ces polynômes ordonnés par rapport à l'inconnue qu'on veut éliminer. Nous nous réservons d’examiner plus loin (363, 364) les circonstances particulières où ces conditions ne sont pas remplies.

358. Cela bien entendu, concevons que l’on ait appliqué aux deux polynômes ordonnés par rapport à y, par exemple, le procédé du plus grand commun diviseur avec ses différentes modifications, lesquelles consistent, d'une [Hirt, ù introduire, à chaque division iwrtielle, un facteur, soit numérique, soit Jonction do/, propre à rendre possible la division du premier terme du dividende [lar le premier terme du diviseur; d'autre part, ù supprimer dans les différents restes les facteurs purement numériques, mais en y laissant toutefois subsister les facteurs fonctions de que chacun do ces restes pourrait contenir (cette dernière condition est indispensable pour l’explication qui va suivre). Nous pourrons alors présenter la série des opérations do la manière suivante :

i.B = Rr/'

a étant le facteur lo plus simple possible que l’on a dû introduire dans A pour que le quotient q soit entier et que lo reste R soit d’un degré moindre en xque celui do B; b étant un facteur analogue introduit dans B, et ainsi do suite; d étant d’ailleurs le dernier facteur introduit et R" le reste, que, pour fixer les idées, nous supposerons indépendant de x.

Voyons maintenant les conséquences auxquelles conduit cette série d’équations.

D'abord il résulte do l’identité (i) que toute solution des équations simultanées A = o, B = o doit annuler a. S. et B7 (puisque a et 7, ne renfermant pas do dénominateur, ne sauraient devenir infinis), et, par conséquent, aussi R; d’où l’on doit nécessairement conclure que toutes les solutions communes aux équations A = o, B = o conviennent également aux équations

.Laau^lc

SECOXDE PARTIE DE L’ÊLIMISATIOM. 4S*

Passant à l’identité (a), nous voyons quo toute îo/h</o/i commune à B = O, R = o doit annuler i.B, Ri/' et R', et, par conséquent, que toutes les solutions de B = o, R = o conviennent également aux équations R = O, R’= O.

En poursuivant ce raisonnement, on verrait que toute solution do R = o, R’= o convient à R\= o, R'= o, et enfin à R"i= o, R"î= o.

Donc, enfin, toutes les solutions des é(piations proposées sont renfermées dans l’un quelconque des systèmes d'équations

et dans le dernier système en particulier.

Ainsi l’équation R”= o, qui, par hypothèse, ne renferme plus que l’inconnue/, comprend toutes les valeurs de / convenables aux doux équations A = o, B = o.

En scconil lieu, reprenons les identités (i), (a), (3), (4 ) dans un ordre inverse.

Il résulte de l’identité (4) que toute solution des équations R'=o, R””:;; O doit annulcr «-/.R'. Or ce produit peut être nul do deux manières, soit parce que l’on a rf = o, soit parce que l’on a R'= o; ce qui prouve que les solutions de R'= o, R"’= o sont des solutions ou de d = o, R'= o, ou bien du système R'= o, R"= o.

Passant à l’identité (3), on reconnaîtrait que les solutions de R'= o, R’= o sont ou des solutions de c = o, R’= o, ou des solutions de R = o, R'= o; et ainsi de suite, en remontant jusqu’à l’identité (i).

Résumant ce qui vient d’être dit en dernier lieu, on arrive à ce résultat, que les solutions des deux dernières équations R'= o, R”= o se composent de toutes les solutions qui vérifient les différents systèmes

Ainsi le système des équations R”= o, R”= o est beaucoup plus général que le système A = o, B = o, dans ce sens que les solutions du premier comprennent, outre les solutions du second, toutes celles qui peuvent satisfaire aux différents systèmes

Concluons do là, enfin, que l’équation R" — o, à laquelle on est arrivé par l’application du procédé du plus grand commun diviseur, contient