X - 8.r^~ G.r — 1, X, = 4-*^’ — i> Xj=4‘r-+'i, Xj— -f
Cela posé, la substitution de — 00 et de h- 00 dans les premiers termes de ces fonctions donne les deux suites
! i- . . . 3* variations,
ce qui prouve que l’équation a scs trois racines réelles, puisqu’il disparaît trois variations dans le passage de — co à -f- 00 .
Soit fait maintenant dans les mémos fonctions x = — 1 , o, — i ; on trouve :
Pour X— — 1, f 4-... 3 variations,
Comme — i donne trois variations, et que o n’en donne qu'une seule, il s’ensuit que o cl — i comprennent deux racines.
Pareillement, o donnant une variation, et -4-1 n’en donnant aucune, il y a une racine comprise entre o et i .
Pour séparer les deux racines négatives, il faut (3i3) resserrer l’intervalle des substitutions; mais, auparavant, il convient do changer x en
APPLICATIONS DU THÉORfeME DE M. STURM.
— X, CO qui ramène l’équation (i) à
(2) Sx*— Gx -f- 1 - o;
et les racines positives de cette nouvelle équation, étant prises avec le gigne —, donneront les racines négatives de la proposée.
Actuellement, posons (34'i), dans l’équation (2), ~ ”5 il en résulte
la transformée
Or, en faisant successivement r = i trouve pour résultats
donc les deux racines positives de l’équation ( 3 ) sont comprises, 1 une entre o et i, et l’autre entre i et 2.
Appliquant à l’équation (3) l’une des deux méthodes d’approximation,
et substituant les valeurs obtenues pour /, dans la relation x = -> ou
plutôt X — — - (à cause du changement de x en — .r), on aura, avec tel
degré d’approximation que l’on voudra, chacune des trois racines de l’équation proposée.
iV. B. — Pour le calcul do la racine positive de l’équation (i), on peut opérer directement sur celte équation.
Deuxième exemple :
(jj .r*— 2.r*— 7x’h- lox -I- 10 = O.
En appliquant à cette équation la règle du n“ 3i6, on trouve successivement
X =r X*— 2X’— 7x’H- IO.r -r- 10,
X, = 2x’— 3.r’— jx -r 5,
Xj= 17-r*— 23x — 45,
X^^ IÔ2X — 3o5,
Si l’on substitue — » et -+- <» dans les premiers termes de ces fonctions, on obtient les doux suites
i ^ . . . 4 variations ,
donc les quatre racines do l’équation sont réelles.
4P4 cnxpmiE vm.
Actuellement, soit fait successivement, dans les fonctions,
j: = O, I , ï, 3, . . . , et X =r O, — I , — 1, — 3, . . . ;
il vient, pour
. 2 vnriiili ns,
puis, pour
2 variations,
D’où l'on voit que l'^ijualion a rfrHX racines positives comprises entre 2 et 3, line racine négative comprise entre o et — i, enfin une racine négative comprise entre — 2 et — 3.
Pour séparer les deux racines positives, on pourrait (345) faire, dans y' Y
l’équation, x =‘- ou • • • ; mais on va voir que la méthode d’apjiroximalion de Lagrange suffit pour opérer cette séparation.
Soit, en effet, posé, dans l’équation (1), x = 2 il vient, tout calcul fait (328), la transformée
(1) 2J"*— lo.r’-i- Sj-’-e 6/-.- 1 = O,
qui a nécessairement deux racines plus grandes que l’unité.
Or, en faisant successivement /= i, 2, 3, 4, 5, on trouve pour résultats
d’où l’on voit que les deux valeurs do y sont comprises, l’une entre i et 2, l’autre entre 4 et 5; c’est-à-dire que les deux valeurs de x seront exprimées par deux fractions continues de la forme
et X — 2 -(- ■
et l’on pourra déterminer chacune de ces fractions continues séparément. (Fw/lesn”' 330 et 354.)
APPLICATIOSS DU TD£Ob6UE DE M. STl'EJI.
iV. B. — Duns cet exemple, après avoir obtenu les fonctions
X’ - 17a:’— a3x — 45, Xj— i52A" — 3o5,
il n’était pas nécessaire d’effectuer la division de X, par X^, opération assez longue sous le rapport des calculs numériques..
En effet, ce qu'il importe de connaître dans l’application de la méthode de M. Sturm, ce n'est pas la valeur numérique du dernier reste, mais bien le signe de ce reste, afin d’en déduire ensuite celui de la quantité X,, laquelle est constante, ainsi qu’on l'a vu.
Or on sait ( 2J7 ) que, quand on divise une fonction entière de x par un facteur de fa forme x — a, le reste n’est autre chose que le résultat de la substitution de a au lieu do x dans la fonction. Ainsi le signe du reste de la division de X, [>ar X, doit être le même que celui qui résulterait de la substitution, dans l’équation X, = o (ou lyx’— aSx — 45 = o), de la racine donnée par l’éiiualion X^= o (ou i5ax — 3o5 = o).
Mais l'équation X, — o, dont les racines sont de signes contraires, donne, pour la positive, 2, 4 è o, i près, tandis que la racine de X, — o est
X = 2 4- • On voit donc que cette racine est comprise entre les deux
racines de l'équation X,= o, et que, par conséquent, si on la substituait dans le polynôme X„ on obtiendrait (Ml , 1°) un résultat de signe contraire au premier terme de X„ c’est-à-dire un résultat négatif.
Donc, puisque le reste de la division de X, par Xj est négatif, il s'ensuit que la fonction X, est positive.
(Cette remarque fait suite à la quatrième du n° 352.)
Troisième ea’emple ;
(i) 2.r — i3x^-4 lox — 19 = o.
Les fonctions X, X,, X,, . . . étant calculées d’après la règle du n" 347, on trouve d’abord, pour les trois premières,
X =: 2X' — l3x’-i- lOX — ig,
Or je dis qu’il est inutile d’aller plus loin et de calculer X^ et X,. En effet, il est aisé de voir que les racines de l’équation X, = o sont imaginaires, pui.sque l’on a (i5)' — 4.i3.38 <0 (Ul, 3°); d’où il résulte que X, no peut changer de signe, quelque valeur qu’on donne à x. Ainsi la quatrième remarque du n° 3.52 est applicable à cet exemple, et il suffira de considérer les trois fonctions X, X„ X,.
486 cnAPiTBB vin.
Or, on substituant succcssivoineiit — co et -o «> dans leur premier ternie, on obtient les deux suites
-, . 1 variations,
ce qui démontre que IVquation a deux racines nîelles et deux racines imajjinaires. Li's racines réelles sont, d’ailleurs, Vune positive et \ autre négative (312), puisque le dernier terme de l'équation est négatif. Quatrième exemple ;
j'~ 3Gu’-h pix’— 37 JT -1- ■pi. = O.
(Nous nous bornerons ici à présenter le tableau du calcul.)
X = x'— 3fix'-i- 72x’— 37a -1-7»,
X,— 5a' - io8j‘-, i44j^ — 37,
( Le signe do X, se détermine, comme dans le deuxième exemple, en observant que la racine de X, = o est évidemment plus grande que la racine positive de Xj = o.)
Or
X =z — 00 donne — H 1 — i • • • 4 variations,
;r = -I- 00 -t- -I- -t- -, ... 1 seule ;
donc l'équation proposée n’a que trois racines réelles. Mais si, avant d appliquer la méthode actuelle, on eût d’abord substitué les nombres entiers consécutifs, on aurait reconnu facilement que chacun des couiiles do nombres, 4 et 5, 5 et 6, — 6 et — 7, donne deux résultaU de signes contraires. Donc les trois racines réelles ont respectivement pour partie entière 4, 5 et — 6; les deux autres racines sont imaginaires.
Ces exemples nous paraissent sufTisanls pour donner une idée de toute l’imiiortanco du théorème de M. Sturm et du parti qu’on peut en tirer dans la résolution des équations numériques.
354. Nous ajouterons cependant encore que, quand on a reconnu, par la substitution des nombres entiers consécutifs dans les fonctions X, X,, X,, . . . , combien il y a de racines réelles entre deux nombres a et o -e 1 , la combinaison du théorème avec la méthode de Lagrange donne le moyen de séparer ces racines sans qu’on soit obligé de recourir à la transforma-
COMDINAISOK DU THiORÈHE DE H. STCRX, ETC. 4^7
lion du n° 3iS, laquelle devient très-laborieuse quand les racines sont très-peu dillércntcs les unes des autres. V'oici en quoi consisU; ce moyen :
On substiluc « -j- ^ n ht place de x, non-seidement dans X, mais encore dans tontes les fonctions de X,, X,, . . .; pais opjrfait successieemcnt jr = 1, 1, 3, . . . . La différence entre les deux nombres do variations résultant de la substitution do doux do ces nombres, i et 6 -h i, est é;;ale
au nombre des valeurs de x comprises entre n -t- ^ et « -i- '
Si cette différence est égale à i, on en conclut que la transformée qui
résulte do la substitution de « -t- j à la place do x dans X = o n'a qu’««c
seule racine comprise entre i et 6 -i- i ; et l’on peut facilement (330) obtenir la fraction continue correspondante.
Mais quand cette différence est égale à a, 3, . . . , on en déduit que la transformée en / a deux, trois,. . . racines comprises entre 6 et i -+- 1 .
Alors on remplace y par b dans les fonctions X, X,, X„ . . . (qui
sont déjà exprimées en /) ; puis on y fait successircment i = i , a, 3, . ^ . La différence entre les doux nombres de variations résultant do la substitution do doux de ces nombres, c et c -t- i , est égale au nombre do valeurs do X comprises entre
On voit aisément que, parce moyen, toutes les valeurs de x comprises entre o et « -+- 1 pourront se développer en autant do fractions continues ayant, à partir de a, une ou plusieurs fractions intégrantes communes.
3ÎS3. Enfin le théorème de M. Sturm conduit très-simplement aux relations qui doivent exister entre les coefficients de l'équation du 3' degré pour qu’elle ait scs trois racines réelles.
Soit l’équation x‘.s- px -t- </ = o, que, pour plus do simplicité, nous supposerons privée du terme en x’, ce qui est toujours permis (âliO).
On obtient, pour les fonctions successives X, X,, X„ X„
X ■.= X* -t- p.T S- Il , X, = 3x’-(-/>,
X,= — a/jx— 3y, X,= -4//-a77^
Cela posé, pour que l’équation ait scs trois racines réelles, il faut et il suffit que, en substituant successivement — œ et -t- « dans les premiers
. JÜgitizad by Coogle
