CHAPITRE TIII

DEl'XIÉME EXEMPLE.

(2) x’-*- (ij-! 4 ) .T 4- -V 4.T 4 3 = 0.

En divisant l'un par l’autre les premiers membres de ces équations, on obtient un certain quotient (qu’il est inutile d’écrire), et un reste du premier de,;ré en x

R = (lij'’ 4 iï,r)x -f 4 E*-*- 24.r’-t- ïojr, ou, supprimant le f,tcteur numérique 4,

U = (3/^4- 3 r)a^ -4- /’-t- 6^-1- üy.

Pour continuer l’application du procédé, il faut multiplier le premier membre de l'équation (2) par (3x’4- 3/)’, puis diviser le produit par le reste obtenu; ce qui donne un quotient, que nous omettons ici, et un reste qui, débarrassé du facteur numériijue 4, se réduit à

ou

A la seule inspection du facteur entre parenthèses, on reconnaît qu’il peut être annulé, soit par j'= i, soit par / = — i; et, on effectuant la division par (t~0(j+>)i — ■)> o" obtient pour quotient

j-’-t-3/4-2, lequel, égalé à zéro, donne les deux racines /= —2, / = — I ; en sorte que, finalement, le reste peut être mis sous la forme

yb- -<){}■ 4 1)'(^-4-2).

Or je dis que, si l’on pose

on aura la véritable équation finale sans aucun facteur étranger.

En effet, les seuls facteurs étrangers, s’il en existe, ne peuvent être que jet v -T I, qui ont été introduits dans le cours du calcul. Mais si nous remontons au reste R, nous voyons que les valeurs j = o, = — i rendent nul chacun de ses coefficients en x et en x* : ce qui prouve que = Oi ' satisfont à R = o, R'= o, quel que soit x.

En substituant successivement ces mêmes valeurs dans l’équation (2), on obtient ;

1° Pour r = o,

x’-r- 4x4- 3 = o, d’où x = — I, x= — 3;

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SECONDE PARTIE DE l’ÊLIMINATION.

2° Pour / = — I ,

x’-t^2j: = o, d'où .r=o, x——%:

d'où l'on doit conclure que les <]untrc couples do valeurs

(r=— ix=o), (/= — 2)

satisfont aux équations B = o, U = o, R'= o, et, i>ar suite, à l’équation A = O, d'après la relation A = B7 -h R.

Donc ^'= o, / = — I sont des valeurs convenables de/.

Pour obtenir les valeurs de x corresjKmdant aux deux autres facteurs } — i, .r -t- 2 de l’équation Onalo, il no s’agit que de faire successivement /=!,/= 2 dans R — O ; ce qui donne :

Pour/ = i,

6xh-i2 = o, d’où x= — 2,

pour / =r — 2,

Gx — 6 = O, d'où x= — I.

Ainsi les deux équations proposées admettent les six solutions

L’équation finale en x est d'ailleurs

3C0. Rentarr/tie. — L’exemple précédent est susceptible d'une grande simplification sous le rapport du calcul.

Parvenu au reste R, on reconnaît immédiatement qu’il peut être mis sous la forme

/(/-+ i) {ix+ r 5).

Supprimant provisoirement les facteurs / et /h- 1, sauf à en tenir compte plus lard, on obtient le nouveau reste

par lequel il faut divisi'r le premier membre de l’équation {2), après avoir toutefois multiplié celui-ci par 9.

Il vient poiir dernier reste, après la suppression du facteur 4,

4i)6 cnAmnF. viii.

qui, égalé à zéro et résolu, donne les deux valeurs

Ces valeurs étant substituées dans l'équation 3o- + r-i 5=0,

on obtient, pour / = — i , et imur/ = — 2,

Quant aux facteurs supprimés, / et ^ -1- 1 , on remonte, comme il a été dit ci-dessus, à l’équation (a), dans laquelle on fait successivement/ = o et / = — 1 .

Pour obtenir ensuite la véritable équation finale, il faut multiplier /'-!-/ — 2 par les facteurs /’ et (/-)- 1); ce qui donne enOn

r’ir -i- / — 2) = O.

Cette remarque suffit pour faire voir comment on doit se conduire toutes les fois que, dans le cours des calculs, on parvient à des restes dont les coefficients renferment des facteurs en /.

Après les avoir supprimés d’abord, on les rétablit ensuite dans le reste final, en ayant soin d'y faire entrer chaque facteur simple à (ine puissance marquée par le noml/re de valears de x qui lui corres/mnde/il.

Ces dernières valeurs se déduisent d’ailleurs du reste qui précède immédiatement celui où l’on a ojiéré la suppression.

TBOISIÈME EXEMPLE.

Comme ces équations sont du même degré en x, on peut prendre indifféremment le premier membre de l’une ou de l'autre pour dividende.

Prenons d’alwrd (i) pour dividende, et multiplions par/* — 3/-t- 2; puis effectuons la division.

11 vient pour quotient/’, et pour reste

Le coefficient du premier terme de ce reste peut être mis sous la forme

SECONDE PARTIE DE l’ÉLIMISATION. 497

et comme ^ = o, ^ = i , = -J ne peuvent annuler 2 v‘ -- 2.)'’ — C r 4 ,

il s’ensuit que le reste du premier degré en x ne contient pas do facteur en .1-.

D'un autre côté, puis(iuo le coefficient du premier terme do {2), ou y'— 3 i' -t- 2, revient à {y— i)(y — 2), il en résulte que, pour continuer l’opéralioM, il suffit de multiplier le premier membre do (2) par >■“( V — 1) (3r 5')’. Cette préparation étant faite, et la nouvelle division

étant effectuée, on obtient un certain quotient (que nous omettrons) et un reste indépendant de x, qui, changé de signe, est égal à

27 ) '" — i3G/*-i- 21 4/’ — I i2/’-t- 05j ‘ — ioo) ‘ ^ 3o i ‘— 24. r’

11 faut maintenant s’assurer si ce reste ne renferme pas de facteurs étrangers. Or, d’après la théorie, ces facteurs ne peuvent être que (j — i) et (^ •— 2), qui composent le premier multiplicateur introduit.

Comme l'hypothèse >■=1, introduite dans le reste du premier degré en X obtenu ci-dessus, le réduit à 4, H s’ensuit que / — i ne saurait se trouver dans le reste final.

Mais si l'on pose y —2 dans le mémo reste, et qu’on égale à zéro le résultat, on trouve

— Sx-*- 40= O, d’où ar=5;

donc (y = 2, j: = 5) forme une solution étrangère, et le reste final doit renfermer le facteur^ — a.

En le supprimant, on obtient pour quotient

lequel n’est plus divisible par / — 1. Ainsi co quotient égalé à zéro donne la vériUible équation finale.

Traitons le môme exemple en prenant (2) pour dividende; et pour cela multiplions (2) par/^, puis effectuons la division. Il vient un certain quotient (qu’il est inutile d’écrire), et un reste du premier degré en x, égal à

( 3/‘ — 8) ' -i- 5/’)x — 2/‘ — 2^r'^-i- G/ — 4- Le coefficient du premier terme de ce reste revient à /’(/->) (3/ — 5);

et comme aucun des facteurs de ce produit ne se trouve dans le second terme, il s'ensuit que, pour continuer l’opération, il faut multiplier (i) par/*(/-i)’(3/-5)’.

Cn*PIT8E VIII.

Après celte nouvelle préparation, on effectue la division, et l'on obtient, pour reste indépendant do x,

27/’ — 8a) "-I- 5oy’— ii v‘ f- 18.V* — Cr* — 36 r' ~

polynôme qui, égalé à zéro, donne la véritable équation finale, puisque le premier multiplicateur introduit, r‘, n’a aucun facteur commun avec ce reste.

Nous n'insisterons pas sur la détermination des couples do valeurs qui satisfont aux é([uations proposées, parce que la recherche seule des racines do l'équation finale serait déjà très-laborieuse; mais cet exemple est remarquable en ce que, suivant la manière dont on commence l'opération, on parvient immédiatement à la véritable équation finale, ou à celte équation embarrassée d’uno racine étrangère.

3G1. ItEiunQUE iMi>oiiTANTE SUC les soliiiions infinies. — En rélléchissanl sur la méthode exposée n° 3S8, on reconnaît sans iwine que les raisonnements qu’elle comporte no s’appliquent qu'aux solutions des équations en réelles ou imaginaires. Quant aux solutions infinies

auxquelles donnent lieu certains systèmes d’équations, il est toujours facile de les découvrir, soit à la fin des opérations, soit dans le cours du calcul, soit enfin en remontant aux équations elles-mêmes, ainsi qu’on va le voir sur les nouveaux exemples que nous allons traiter.