X -hy

Or le deuxième et le quatrième admettent respectivement les couples

mais le premier et le troisième rentrent (74) dans la classe des équations du premier degré à doux inconnues dont les solutions sont infinies,

CINQUlàME EXEMPLE.

5oo

cuAPiTnc riii.

Cet exemple donne, pour reste de la première opération,

Supprimant le facteur — (.r— i), et divisant le premier membre de (a) par X 1 , on trouve pour reste ünal

La valeur = — a, substituée dans x 1 = o, donne x = — i .

Quant à la valeur i, tirée du facteur ,r — i égalé à zéro, en la substituant dans le diviseur de la première opération, c’est-à-dire dans l’équation (2), on obtient

ce qui donne deux valeurs infinies pour x.

Et, en effet, la mémo valeur/ = 1, reportée dans l’équation (i), donne

qui admet également deux valeurs infinies.

Ainsi les équations proposées admettent d'abord un seul système de valeurs finies, y = — 2, x = — i , puis deux systèmes de valeurs, pour / et infinies pour x, savoir { r = i , x = 00 ), (/ = i , x = 00 ).

En général on obtient les systèmes de valeurs finies pour l'une des inconnues, et infinies pour l’autre, d'après l'insiÆCtion des équations proposées, en les ordonnant alternativement par rapport à cliaque inconnue. On voit alors si quelques-uns des cocITicients de l’inconnue par rapport aux puissances do laquelle les polynômes sont ordonnés peuvent être annulés pour la mémo valeur de l'autre inconnue.

C'est ainsi que le système dos équations

/’x’ — X — 3 = O, /X* — 3 ix -4-4 = 0,

outre les solutions ordinaires en nombres finis, admet les deux couples

(r = P, / = «), (x = o, /=eo)(*).

302. Jusqu’à présent nous avons supposé que, en appliquant la méthode d’élimination avec toutes scs modifications, on soit conduit à un reste final fonction de/; mais il n’en est pas toujours ainsi, et la dernière di-

( * ) C'esl surtout dans tn Géométrie anah tique h deux dimensions que I.i considération de CCS sortes de solutions in^oiVjcst importante. Elles correspondent, soit à des br.nnches de courbes qui se rencontrent à l’infini, suit il des courbes qui ont des asymptotes comuiuncs.

. Diaitized hv.G(K rôle

SECnSPE PARTIE I)E l’ÉLISIINATION,

Soi

vision que comporle le procédi' donne quelquefois lieu, sdit h un reste mimêriiiue, soit à un reste nul. Examinons ces deux cas successivement.

Premier cas. — Reste nuniérii/ue différent de zéro.