SIXIÈME EXEMPLE

(1) jx’— (r*— 3,1- — i)xH-,v=o,

La première division donne pour quotient yx, et pour reste x -i- y.

Pans la seconde, le quotient est x — y, et le reste -t- 3.

Ce résultat prouve que les deux éijuations sont inconipntibles, c’està-dire qu’elles n’admettent mtrune solution en nombres finis.

Et, en effet, comme, en appliquant aux deux polynômes proposés lo procédé du plus grand commun diviseur, on obtient un reste nuntériijue avant aucune substitution parliculiéro faite pour y, il s’ensuit que lo mémo procédé, appliqué aux deux polynômes en x qui résulteraient de la substitution pour y, d’une valeur particulière quelconque, donnerait lieu au môme reste numérique; d’où l’on voit qu’aucune valeur de j ne saurait introduire de commun diviseur en x, condition qui cependant (207) est inséparable de toute valeur convenable de y.

Dans l'exemple précédent, l'incompatibilité des deux équations peut aisément être mise en évidence; car il résulte de la première opération que l'équation (i) peut être mise sous la forme

[x'-y'-h Z)yx -i- X s-y= o, équation qui, eu égard à l’équation (2), se réduit à

d ou 1 on tire

(x-H.r)(x — /), ou x’ — ,r’= O.

Or ce dernier résultat est évidemment contradictoire avec x' — y^ -r- 3 = O,

tant que x et y sont des quantités finies.

IV. B. — Il est important d'observer que, dans lo cas qui nous occupe, il n’y a incompatibilité entre les équations proposées qu’autant (|u’il n’y a pas eu de Licteur en >• supprimé dans les dilfércnts restes ; car on sait qu’en général à ces facteurs supprimés correspondent des couples des valeurs finies pour x et pour y, dont il faut tenir compte à la fin de l’opération.

3C3. Second cas. — Reste nul.

CnAPITBE VIII.