SL'R LES POLYNÔMES RATIONNELS ET ENTIERS
née à la recherche des facteurs do la forme a — K, K étant une quantité entière, positive ou négative, numérique ou algébrique. Et pour obtenir ces facteurs, il suffit de savoir résoudre en quantités entières une équation de la forme
P, Q,..., T, U étant des quantités algébriques entières.
La méthode établie précédemment (320) pour résoudre en nombres entiers une équation numérique de même forme est applicable en tous points à la question dont nous nous occupons ici. 11 suftit donc de se reporter à ce numéro pour se former une idée de la marche qu’il faut suivre à l’égard d’un polyndme rationnel et entier, quelque compliqué qu’il soit. Nous nous bornerons à quelques remarques générales.
10. Premure remarque. — L*appHcation de la méthode supposant que le der-
nier terme du polynôme ordonné est décomposé en scs facteurs premiers, il semble, au premier abord, que nous fassions une pétition de principe; mais observons : que ce dernier terme est plus simple que le polyuOme proposé;
que, dans toips les c.as, il renferme une lettre de moias que ce polynôme.
Ainsi d'abord, quand le polynôme ne renferme qu'une seule lettrcy le dernier terme est numérique; or on sait déjà trouver tous les diviseurs d’un nombre.
Si ic polynôme renferme deux lettres, et qu’on l’ordonne par rapport à ruiie d’cUcs, le dernier terme n'est plus fonction que d’une seule lettre, et l’on est ccns(' savoir déterminer tous les diviseurs entiers d’un polynôme d’n/ic seule lettre.
Si le polynôme renferme trois lettres, le dernier terme n'en renferme que deux; et ainsi do suite.
11. Deuxième remarque. — Lorsque, dans le polynôme proposé, le coefficient de la plus haute puissance de la lettre principale est dificrontde l’unité, comme il faut avoir recours à la transformation du 265 pour rendre ce coefficient égal à I, et que cette operation donne lieu, en général, à de nouveaux coefficients très-compliqués, il convient d’appliquer d'abord la méthode uu polynôme lui-&ôme, de lu manière indiquée au n*’ 324. Par ce moyen, on obtient tous les facteurs premiers de l.a forme (« — «), après quoi l’on divise le polynôme proposé par le produit de tous ces facteurs; et la question se réduit a déterminer tous les facteurs, tels que {yn — €), du polynôme quotient.
12. Troisième remarque. — Dans la même circonstance, il convient encore de s’assurer si les coefficients des diverses puissances de la lettn* principale n’auraient pas un commun diviseur (247), parce que, s’il en existait un, on le supprimerait, et i’on opérerait ensuite sur le polynôme résultant de celte suppression.
Le facteur supprimé pourrait luUméme être un polynôme décomposable, et scs facteurs premiers seraient les facteurs indépendants de la lettre principale.
13. Quatrième et dernière remarque. — Toutes Jes fois que le dernier terme
renferme comme facteurs des monômes littéraux, tels que c,
il est plus simple de substituer immédiatement ces quantités prises avec lo signe H-, puis avec le signe —, dans le polynôme, parce que le résultat de cetto substitution est un polynôme tout développé.
NOTE
Celles de ees quantltdt qui jouissent de la propriété de rendre nui le polyndmc sont reconnues racines. C'est la même règle que pour -H 1 et ~ j par rapport aux équations numériques.
Les exemples suivants éclairciront ces différentes remarques.
PEKMIXa EXEMPLE.
U. aa*-f- a** h- a’ A* 4-
Égalons ce polynôme k zéro, après l’aToir ordonné; il vient
(1) 30- H- fra'-è- ô*a*-+- = 0.
Conformément k la remarque du n<> 11, cherchons d’abord les diviseurs tels que a —
Or les diviseurs de 6* étant ô, ô*, è*, 6*, il faudrait essayer ces diviseors tant avec le signe h- qu’avec le signe —, et pour ccU les substituer au lieu de a dans l’équation (t); mais, comme le polynôme proposé est ^omo^ne(j^/ffètre,)\), il est évident que 6*, substitué à la place de a, donnerait pour la* un terme de plus haut degré que tous les autres, et qui, par conséquent, ne pourrait être détruit. Mémo raisonnement par rapport k ô* et ô*. Ainsi l’on ne duit essayer que les diviseurs 4- ô et — à.
Or le dernier seul donne, par sa substitution,
donc — ô est racine de l’cquation, et par conséquent a — ( — b) ou (a 4- ô) est diviseur du polynôme proposé.
Divisant ce polynôme par <s 4- ô, et égalant le quotient k zéro, on trouve
(2) an* — ba*-hib*a — ô* = o.
On pourrait actuellement faire disparaître le coefîicient de <1*, en posant
^ = -f puis opérer sur l’équation résultante comme sur la proposée; mais si a
l’on rapproche le premier et le troisième terme de l’équation (a), puit le deuxième et le quatrième, on reconnaît qu’elle revient k
aa(a*4- ft') — ô(a*4- ô*)= 0, ou (aa — ô)(a'-+- ^’) = 0.
Donc, enfin, le polynôme proposé est égal k
ce qui donne deux facteurs du premier degré et un facteur du second degré.
15. Dans cet exemple, comme dans tous ceux où le polynôme est homogène et composé de eieux lettres seulement, on peut ramener la résolution de l’équation k celle d'une équation numérique.
Soit, CO effet, l'équation générale
Aa"-4- Bôa"“*-+-Cô’fl*"*4-. 4-Nô“ = 0,
A, B, C, . . . , M, N étant des nombres entiers.
Digiti. by Googic
SUR LES POLTRÔHES RATIONKELS ET ENTIERS.
équation numérique qu'il ne a'agit plus que de résoudre en nombres commensurablcs. Ces valeurs, étant substituées dans la relation a = 4x, donneront les valeurs eorrespondantes de a, et, par suite, les diviseurs de la forme a — et, ou ■/« — E. -
Ainsi, soit posé dans l’éqiNtion (i) du n° 14, a = àx, il vient (3) é*(ax‘-4-i*-+-T’+x — i) = o.
Le facteur entre parenthèses étant égalé 11 zéro et soumis h la méthode des racines commensurables, on trouve les deux facteurs (x-t- i), (ax — i) et, par suite, le facteur (x*+i); d'où, substituant dans l'équation (3) et remplaçant x par sa valeur tirée de la relation a = Ax,
(a-t-A)(ao — i)(o’-l-A’) = o
DECXléllE EXXapLE.
16. a' — (A-t- c)o’ — (A* — 3Ac)o'-l-(A*— A'c — Ac*)a — A*c+ A*c‘ = o.
Le dernier terme, — A'c A’c', revient à A’c(— A -t- e); ce qui donne pour les diviseurs simples
On ne doit d'ailleurs essayer que ces diviseurs, puisque le po^ùme est homogène; car A’ ou Ac, par exemple, mis à la place de o dans liquation, donnerait A' ou A'c', quantité d'un degré supérieur à toutes les autres, et qui, par conséquent, ne pourrait pas être détruite.
En faisant successivement o = A, — A, c, — c, on reconnaît que A seul vérifie l'équation. Ainsi déjà (a — A) est un des diviseurs cherchés.
Il reste maintenant à appliquer la méthode du n° 320 au deux facteurs — A -t- c, -I- A — c.
-1- A' — Ac’
-h — 7b*c — fre*
— a A’ -t-aAc
+-aA
Considérons d'abord le facteur (— A -i- c). Après avoir divisé le dernier
KOTB
terme par ce facteur, ce qui donne H- pour quotient, on ajoute à ce quotient le coefficient de a*, et Von obtient pour somme 6*— Ac’.
Divisant 6* — hc* par — ^-4- c, on a pour nouveau quotient — * 6* — ^c, qui, ajouté au coefljcicnt de n*, donne pour aorotne
— aéc.
Divisant — ’ibe par — 6 H- c, on obtient afr, quotient qui, ajouté an coefficient n”, donne pour somme ^
Divisant enfin -h b — c par — A-t-c, on trouve pour quotient — i. Donc — b’^ e est racine.
En appliquant la méthode au second diviseuc on obtient pour la
première somme b* — ib'c — quantité qui n^st pas divisible par b — c. Ainsi b — c doit être rejeté.
Il résulte de là que les seuls diviseurs entiers, et du premier degré, du polynôme proposé sont (a — é) et (a -t- A — c). Divisant ce polynôme par le produit (a — b){a-\~b — e) ou a*— ae — ô*-h bc^ on a pour quotient
a*— ôa -t- 6c.
Ainsi lo polynôme proposé revient h
TBOISIÊMS EXEMPLE.
( I ) ? a*-f- (6 -4- 3 c) a* — (7 6’ — a 6c — c*) a’ — a (6*+ 3 6*c) a-*- 6 6‘ — 4 fr’c — a 6'c*= 0.
Le dernier Jormo revient à a6*(36'— a6c — c*); or il est aisé de roconnaitro que Vhypothèse 6 = c rend nul le facteur entre parenthèses; donc ce dernier terme est divisible par b^Cf et Von trouve
G 6* — /ib*c — a6*c’= 3 6* (6 — c)(36 -4- c).
En appliquant la méthode à chacun des diviseurs simples
6, 6 — c, 3 6 -4- c, — 36 — c, — 6 -4- c, — 6, ou
on reconnaît que (6 — c) seul satisfait à toutes les conditions. Ainsi Von a a = 6 — c, d’où a — 6 -4- c = 0.
Divisant le polynôme proposé par a — 6 -4- c, on obtient pour quotient (3) 3a*-4-(36 -4- c)a* — {^b'a — 66* — q6*c.
tngni7ü'{j ryt'TrTôgl
SUK LES POLYNÔMES RATIONNELS El ENTIERS. Posons, dans ce nouveau polynôme, a = ^ ; il vient
Or le dernier terme revient ii
ce qui donne pour les diviseurs simples, abstraction faite du facteur 8,
by 3 A H- c, by — Z b — c.
L’application delà méthode aux deux diviseurs 3é-+-c, — Zb — c fait reconnaître que — (3^-f- c) est racine de l’équation (3), et, par conséquent, que
a = — est racine de l’équation (a). Donc (a a 4- 3^ -h c) est diviseur du premier membre do cette équation (8).
En effectuant la division, on obtient pour quotient
Donc, enfin, le polynôme proposé peut se mettre sous la forme
(a — t-f-c)(2a4-3i-4-e)(a* — ib*).
18. Ces exemples suffisent pour mettre au fait de la recherche des facteurs du premier degré d’un polynôme rationnel et entier. Quant aux diviseurs du second degré ou de degré supérieur, il faudrait employer une méthode analogue & celle qui a été établie au n° 325.
Au reste il arrive souvent, dans les applications particulières, que quelquesunes des lettres qui entrent dans les polynômes n’y sont élevées qu’à la seconde puissance; et, dans ce cas, la détermination des facteurs ne dépend que de la résolution d’une équation du second degré.
Reprenons l’exemple traité n° 16, et observons que la lettre c n’entre qu’à la seconde puissance dans le polynôme.
En l’ordonnant par rapport à cette lettre, on obtient
— (^*-4- ab' — 3a*é-l- <i®)c -+- ab* — a'b' — a*b-^~ a*= o;
et il suffirait de résoudre cette équation par rapport à c, puis d’effectuer toutes les opérations et simplifications auxquelles on serait conduit; mais, avant tout, il convient de s’assurer s’il n’existerait pas un diviseur commun à tous les coefficients.
Or le coefficient b* — ab revient à b{b — n), et il est aisé de reconnaître que l’hypothèse b — a = o, ou i = a, anéantit les deux autres coefficients; donc {b — a) est diviseur commun. En supprimant ce facteur dans le polynôme, on trouve pour quotient
bc' — 3«^ — a*)c 4- ab' — <a* = o;
d’où l’on déduit immédiatement
NOTE
^*-1- — <1* . . — <#*)• a* — ah*
ou, rédiiisani sous le radical au dénominateur 4^*» développant léa calculs et extrayant la racine carrée.
Donc
•%b*~^’>ab
ib
= ^H-a; d’où c — 5 = a = o;
lah — ia* ab — a* ,
e SS s= J > d ou cb-~ ab a = o.
Ainsi les diviseurs du polynôme proposé sont
b — fl, c — h ch — ah n*,
a — b y <2 •+“ é» — c, O* — ûA -H bCy
comme on l’avait dejk reconnu au n® IG.
Le troisième exemple ( 17) peut être traité de la même manière; car la lettrée n’entre également dans le polynôme qu’à la seconde puissance. On serait conduit à supprimer d’abord le facteur (a* — 3^’), commun à tous les coefllcients-
19. Nous terminerons par un exemple assez remarquable qu’on rencontre dans la Géométrie analytique.
Soit l’équation
J* — cx)‘ — (a*— — c)* = O.
Comme, après le développement du premier membre, les deux lettres n et c n'y entrent qu’à la seconde puissance, on peut ordonner indifTéremment par rapport à l’une ou à l’autre.
Ordonnons, par exemple, suivant la lettre c; il vient
x’ — a*)c* — ax(7*-»-x* — a*)c-4-/'*-t-(ax* — — a*x*5=o,
équation que l'on peut résoudre par rapport à c. Mais vérifions auparavant si X*— > fl*, qui est facteur commun aux deux premiers coefficients, ne
diviserait pas également le coefficient de c*. Or, en essayant la division, on trouve, pour quotient exact, x*.
Donc l’équation peut se mettre sous la forme
Cr*-hx* — a*)(c* — îcx H-^*-+-x*)= 0,
ou bien
Cr*-t-x’ — -c)>] = o;
c’est-à*dire que le premier membre est décomposable dans le produit de deux
Digitizoa >--y MOgli
SUH LES POLYNÔMES RATIONNELS BT ENTIERS. $4^
faeteurs rationnels du second que Ton doit d’ailleurs regarder comme
des facteurs premiers.
Si l’on ordonnait le polynôme par rapport à la lettre x, on ne pourrait ap* pliquer la méthode du n^ 9, puisqu’elle ne donne que les facteurs rationnels du premier do(*ré, et que, par le fait, le polynôme n’est dëcomposable qu’en des facteurs premiers du second degré; mais, en ordonnant par rapport on obtiendrait une équation do quatrième degré, résoluble à la manière de celles du second.
N, B, — On arrive II l’équation que nous venons de traiter en recherchant le lieu géométrique des pieds des perpendiculaires abaissées du foyer d'une ellipse sur la tangence considérée dans toutes tes positions.
20. Enfin la décomposition d'un polynôme en facteurs rationnels peut être fort utile dans rclimination; car on a vu (365) que, quand on est parvenu à décomposer les premiers membres des deux équations en leurs facteurs simples, la détermination des systèmes de valeurs propres à vérifier ces équations se réduit à celle des systèmes qui correspondent aux combinaisons deux à deux de ces facteurs égalés a zéro.
Aig. a.
