SUE LES POLTEÔHES RATIONNELS ET ENTIERS

ndme X ; je dis que ce polynôme est aussi exactement divisible par (6x — «), le mot divisible étant pris ici dans le sens de la division algébrique ordi-> naire (230).

En effet» il résulte d’abord do ce qui a été dit au 238 que le quotient de la division de X par est exact et égal à

AV^'h- (a f + b) x"-*+ îf’ -+- b 5 c) 0^-* + . ..

en sorte que, si l’on appelle Q ce quotient, on a

Q étant un polynéroe de forme fractionnaire, mais dont tous les dénominateurs sont facteurs de 6^*.

Cela posé, multiplions les deux membres de l'égalité (i) par 6"; il vient X6"= (6x — «)Qr~*;

et 11 est évident que peut être considéré comme un polynôme ration-

nel et entier, ainsi que sa valeur -z * Mais 6x — œ est un polynôme pre-

6x — cc

mier qui ne peut diviser le facteur Ç", puisque ce facteur est indépendant de x ; donc {note, 3) X lui-méme est divisible par 6x — oc ; et l’on a

Q' étant un polynôme rationnel et entier. c. q. r. n.

jV. B, — Comme régalité (i) revient S X = (6x — «) on obtient, en la

comparant avec Tégalité (a),

S = Q', d’où Q = Q’6,

ce qui démontre que le quotient Q, supposé de forme fractionnaire, se réduit lui-méme à un polynôme entier, et tel que € est facteur commun à tous ses coefficients.

C’est sur ce principe que s’appuie la détermination des facteurs du premier degré de la forme (mx + n) pour les équations numériques. {Voir les exercices donnés n® 323.)

9. Passons actuellement à la recherche des facteurs premiers d’un polynôme rationnel et entier.

538 note

Considérons, en premier Hen, un polynôme de la forme

P, Q, T, U désignant des quantités algébriques entières.

Il est facile de démontrer, comme on l’a fait au n^ 318, qu’aucune eiprestioo

rationnelle fractionnaire ^ (qu’on peut toujours supposer irréductible), aubsti

tuée a la place de n, ne peut rendre nul le polynôme proposé.

Supposons, en effet, qu'ort puisse avoir

si l’on multi])lie par ’, et qu’on transpose tous les termes, à l’exception du premier, il vient

— = - Pa""‘ — Qa"”’8 T:t6"-’— U6"“',

égalité évidemment absurde; car le second membre est un- polynôme rationnel et entier, tandis que le premier est essentiellement fractionnaire (note, 6).

Soit, on second lieu, un polynôme rationnel et entier, tel quo

Aa”-+“ B a" *-+*•• .-i-Ma -f- N.

Égalons ce polynôme à xéro, et posons (*ï(>5) a = on trouve, après la dispari-

tion des dénominateurs,

équation dont le premier membre est de même forme que le polynôme (i), et qui, si elle admet des valeurs rationnelles pour <i', ne peut en admettre quo d'entières.

Désignons par y;, p' les différentes racines entières de celte équation;

les racines correspondantes de l’équation

seront Or, parmi ccUcs-cî, les unes peuvent être entières cl

reprcsentccs par a, a les autres fractionnaires et exprimées par -> 77»* ••

(6 et 6' et y',. . . étant premiers entre eux).

Par conséquent, les diviseurs rationnels et entiers du premier degré par rapport a <7, du polynôme proposé, seront

<i — et yO— '6, y'o — ê’,....

Par ce moyen, la recherche des diviseurs entiers du premier degré, par rapport à l’uoc des lettres qui entrent dans un polynôme donné, se trouve rame-