FORME GËKÉRALE DES RACINES IMAGINAIRES

en ce que, les rncines inmginnires de toute équation à coefficients réels sont toutes de la forme de celles du second degré, c'est-à-dire de la forme a±b , a et b désignant des quantités réelles, comniensurables ou incommensurables ; proposition déjà vérifiée pour les équations à deux termes.

386. Avant do passer à la démonstration du cas général, nous ferons voir que, si une équation dont les coefficients sont réels a une racine de la forme o -h é ^ — i , elle en a nécessairement une autre de la forme a — h \l — I , a et b étant les mêmes dans ees deux expressions.

Pour démontrer ce Icmme, considérons l’équation

Pr"“' H- Qj/*"’-!-. . .-I- Tx + ü = O,

P,0,...,T, U étant des quantités réelles quelconques, et supposons que cette équation soit satisfaite par une expression telle que </ -+- i i; on aura l'égalité vérifiée

{a -h b\' — I )"+ P (n -4- éi/— i)"”' -t- . . . -f- T (o -f- i i) -H U = O. Développant les calculs et so rappelant que les diverses puissances de V — 1 sont alternativement (170)

on obtiendra une expression composée de deux parties bien distinctes, savoir : une partie réelle, provenant do toutes les puissances de degré pair do b i , combinées avec les puissances a", ■■ do o,

et les coolficicnts P, Q, R,. . . ; puis une partie imaginaire provenant de toutes les puissances de degré impair de b\/—i , combinées avec les

puissances a""‘, . . de a, et les coefficients P, Q, R,

Désignant donc ces deux parties par M cl N , l’égalité ci-dessus se réduira à M -t- N y^i = o, équation qui no peut évidemment subsister qu’autant que l’on a séparément

M = o et N = O.

Actuellement, si, dans le premier membre de la proposée, au lieu de a S- b \f^t , on substitue a — b \f^\, ce qui donne

(a — i P (fl — b I -l-...-(-T(a — 6^— i) -H ü,

il est facile de voir quo le résultat de ce développement ne différera du précédent qu’on co que tous les termes affectés des puissances impaires

CUAFITKK IX.

de é y/— I auront changé de signe, car ( — i 1 ) ** est égal à {-+- i y/— 1 )*" ;

mis (— est égal à — (iy/— (ISO); donc ce résultat

sera nécessairement M — N^— 1 , M et N désignant ici les mêmes quantités que dans le résultat du premier développement. Or on a vu tout à l’heure que l’on doit avoir séparément M = o et N = o ; ainsi l’égalité M — N = O est elle-même satisfaite ; par conséquent, a -t- b y/— i est une racine de la proposée, a — b y/— i est nécessairement une autre racine.

Passons maintenant à la démonstration du théorème sur la forme des racines imaginaires.

387. Oîtte proposition est évidemment une conséquence du théorème dont voici l'énoncé, théorème qne l’on peut regarder comme un des plus beaux de l’Analyse, et que l’on doit è l'illustre Laplace :

Touté éqiuition de degré pair, dont les coefficients sont réels, est décomposable en fadeurs réels du second degré, c’est-à-dire en facteurs de la forme x’ -H px -t- q, x' + p'x -t-q',..., dans lesquels p, q, p', q',... désignent des quantités réelles quelconques ; car, ceci étant admis, les facteurs x'-t-px -t- q, x’ -h p'x -i-q',..., égalés à zéro, donnent lieu à des racines qui, si elles sont imaginaires, ne peuvent être que de la forme fl± b]/—i , et réciproquement.

Tâchons donc de démontrer ce dernier théorème.

Soit une équation X = o de degré pair m , à coefficients réels. Appelons a,b,c,... scs diiférentes racines; les facteurs du second degré correspondants seront

jr* — (a-i-b)x -\-ab, x’— (a -t- c) x -+- oc, x’ — (A H- c)x -t- ic,.. . .

Cela posé, nous allons d’abord faire voir que l’an de ces facteurs au moins a ses coefficients réels.

En effet , supposons, en premier lieu, que m soit une seule fois divisible par a, c’est-à-dire que l'on ait m — an, n étant un nombre impair.

On peut toujours (299) former une équation en z dont les racines soient des combinaisons de la forme

n -H é -H kab, a c -i- kac, b c kbc, ...,

k étant un nombre entier tout à fait arbitraire. Concevons cette équation formée, et désignons-la par Z = o; son degré est égal au nombre des

combinaisons, deux à deux, des racines a, b, c,..., c’est-à-dire à m — ~.l

ou n(m — i) ; or n est, par hypothèse, impair, et il en est de même de