FORME GÉNÉRALE DES RACINES IMAGINAIRES

(//I — i); donc l'équation Z = o est de degré impair : ainsi (312) celte équation a au moins une racine réelle, et celte racine est la valeur de l’une des combinaisons a-\- b + kab, a c-¥- kac, ....

Maintenant attribuons à k une seconde, une troisième, etc. valeur; nous formerons ainsi autant d'équations Z'= o, Z' = o,. . ., qui auront cbacunc au moins une racine réelle. Il pourra d’abord se faire que la racine réelle de chacune de ces équations appartienne à une combinaison composée de deux lettres dillérentes de celles qui entrent dans les combinaisons précédentes ; mais, comme le nombre de ces combinaisons est

limité et égal à m — > qu’on peut désigner par p, il est clair que, après

avoir attribué à k, (/> -i- i) valeurs, cl formé équations Z = o,

Z'=o, Z"=o deux de ces équations seront telles, que la racine

réelle de chacune appartiendra à une combinaison composée des deux mêmes lettres; ainsi l’on peut supposer, par exemple, que l’on ait trouvé, on désignant par a et par a' ces doux racines réelles.

Il -y- b -i- kab = OL, a -+- b k'ab = a'. De ces deux équations on déduit par l’élimination

Ces valeurs sont nécessairement des quantités réelles et finies ; donc il est démontré que Y un nu moins des j acteurs x’ — [a + b)x ub de la proposée a scs cocfiGcienls réels.

Soit, en second lieu, m = 2’ /»', n‘ étant impair. Formons encore une équation Z = o, dont les racines soient des combinaisons do la forme

(7 -t- b + kab \ cette équation sera du degré m ^ ' ou ■xn'[m — i). Or n'

et (m — 1) étant des nombres impairs, ce degré sera pair et une seule fois divisible par 2; donc, en vertu de ce qui vient d’étre dit, l'équation Z = o aura au moins un facteur du second degré à coefficients réels. Ce facteur, égalé à zéro, donnera lieu à deux valeurs de i de la forme « ± S v^— I (S pouvant être zéro, ce qui arriverait si les deux valeurs de z étaient réelles). Considérons seulement la première racine, et supposons qu’elle appartienne à la combinaison n b -t- kab.

D'après les raisonnements précédents, rien n’empêche de supposer encore qu’une autre équation Z'= o, formée de la même manière, ait une racine de la forme a' -h 6' , appartenant à la combinaison a-t-b-i- k'ab.

55o CHAPITRE IX.

composée des deux mêmes lettres ; en sorte que l’on ail à la fois

a ->r~ h -i- fiob = a-t* 6^/ — i, n b k'ab ~ a'-t- 6’ ^ — i ; d’où l’on déduit

Ces expressions sont do la forme

r -f- r et r'-i-t' vA- 1 .

Ainsi la proposée a au moins un facteur du second degré, tel que j:’— (r'-t- s’ i/— i) X -t- r-iet si l’on égale ce facteur à zéro, on obtient

La quantité sous le radical, étant développée, donne un résultat do la forme r*-i- s' \J— i ; mais l’expression v^-+- ^ 'J— ^ se réduit elle^nême (121) à une autre de la forme ; d’où l’on peut conclure que

la première des deux valeurs de x ci-dessus est aussi do la forme p-^q yj — I ; et, d’après le lemme démontré au n° 386, il faut qu’elle en ait une autre telle que p — q^—i.

Or, si l’on multiplie entre eux les deux facteurs x— (p q yf—i) cl x—(p — q ), on obtient pour produit

(x — /))’-(- 7’ ou x’— 2/)X -t- 7’,

polynôme du second degré en x, dont les coefficients sont réels. Ainsi il est encore démontré que, dans le cas do m = a’/i', \ équation a au moins un facteur réel du second degré.

Soit, en troisième Heu, m = a’n", n* étant impair; on peut former une équation Z = o analogue aux précédentes, dont le degré

m ou -rnim — i)

sera deux fois divisible par a, et qui, en vertu de ce qui vient d'étre dit, aura au moins un facteur réel du second degré, d’où, en répétant les mêmes raisonnements que dans la seconde partie de la démonstration,