DISCUSSION

Les quantités ni et n renfermant dans leurs expressions le radical on conçoit que la réalité ou \ imaginarité des trois racines

dépend principalement du signe de la quantité ^ ^ • On est donc

558 CDAPITIIB IX.

conduit à faire les hypothèses suivantes :

Examinons successivement ces trois hypothèses (*).

Dans ce cas, comme les deux racines do la réduite (5) sont réelles et inégales, il s'ensuit que les quantités ni et n sont aussi réelles et essentiellement différentes l'une de l’autre.

Ainsi la première valeur x=m -i- n, ou

V aY4i7V ay4 27

est réelle.

Les doux autres

sont imaginaires; car elles renferment et, d’après l’hypothèse,

m — n est réel et différent de zéro.

Quant au signe de la racine réelle, le principe établi (312) sur les équations de degré impair prouve que cette racine est positive si <] est négatif, et négative si «y est positif; ce dont il est d'ailleurs facile de se rendre compte par la discussion de la première valeur de x ci-dessus.

Dans ce nouveau cas, les racines do la réduite se réduisant l'une et l'autre

à — les valeurs de m et de n sont réelles et égales chacune à ^

CO qui donne, pour la première valeur de x.

(*) Los conditions de réalité ou d’ima('inarité des racines de Téquation du troisième de^jré ont été déjà discutées, indépendamment de M rétoluUoo» au moyen du théorème de M. Sturm. {Foir le n*> 355.)

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DISCÜSSIOX DE l’éQCàTION DU THOISltUE DEGRÉ. 559 Pour les deux autres, comme on a

il en résulte

m — n = O, et — I — = m = w i •

Ainsi ces valeurs sont égales et se réduisent chacune à

c'est-à-dire quo leurs valeurs numériques sont chacune moitié de la première.

Donc, en supposant le dernier terme q positif, l’équation (i) a une racine réelle négative — a et deux racines positives égales

Le contraire a lieu quand le dernier terme est négatif; c’est-à-dire qu'elle a une seule racine positive et deux racines négatives égales.