Soit
(1) x' px'-t- qx -t- r = O
l’équation à résoudre. (Nous supposerons encore l’équation privée de second terme.)
En so laissant conduire par l’analogie, on peut être tenté de ihiro x = j-f-a, c’est-à-dire x égal à la somme do deux autres inconnues. C’est en effet la marche que Lagrange a suivie, en employant ensuite plusieurs artifices d’analyse pour tirer parti de sa méthode. Mais les calculs qui se rattachent à cette méthode sont très-compliqués, et l’on parvient beaucoup plus promptement aux expressions de l’inconnue par l'introduction do trois indéterminées.
Soit donc bit, dans l’équation
(2) x=y-^L-hu\
RÊ80LDTI0H VE l’eQDÀTIOK DU QUATXlfiME DEGRt. 56l il rient, par l’élévation au carré,
* i’= a’-»- a(j'z -f- zu),
ou
x’— (/■’-♦- z’-»- a’) = a(yz -t- za) ;
carrant de nouveau les deux membres de cette dernière équation, on obtient
- 4(/’z’-4-7’a'-i- z’a’) H- S^za (/H- z a),
ou, remplaçant 7 + z -t- a par x, et transposant
ar* — a {7’+ z’-i- a’jx* — STZax ■+■ (7’-t- z’-+- a*)’
Or, pour que cette équation s’accorde avec la proposée, il &ut et il suffit que l’on ait :
d’où
' ib
Telles sont les équations de condition qui peuvent servir à déterminer les valeurs 7, z, a, dont la somme formera d'ailleurs la valeur de x. Or l’équation (5), élevée au carré, donne
D’où l’on voit que les carréS7’, z’, a’ sont tels, que leur somme est égale à un nombre donné, — —, la somme de leurs produits deux à deux égale
CBAPITKB IX.
à un antre nombre donné ^ — A- y et enfin le produit de ces trois carrés,
ib
égalà|j-
Donc, en vertu des relations qui existent (242) entre les coefficients et les racines de l'i^qualion du troisième degré, la détermination des carrés u’, z’ ne dépend plus que de la résolution de l’équation du troisième degré
Si, pour faire évanouir les dénominateurs, on pose * = ^ ’ **
«•-t- ^ps'-i- (p‘— 4r)r — = O.
Telle est la réduite do l’équation du quatrième degré.
Désignons par s', s’, s" les trois racines de l’équation (6), que l’on sait maintenant résoudre; il en résulte
et, comme on a d’ailleurs x — y + z -t- u, il faut combiner ces valeurs par addition, ce qui donnera en apparence huit valeurs différentes. Mais si l'on observe que l’on a, pour une des équations de condition,
on ne doit tenir compte que des combinaisons telles que le produit des trois valeurs de y,z etu soit positif si q est négatif, et négatif si q est positif.
D’après cela, le nombre de solutions est évidemment réduit à quatre, savoir ;
1° Lorsque q est négatif, auquel cas la proposée est
X* -h px' — qx H- r = O,
DISCDSSIOn DBS BACtNES DD QDATHIfellB DEGBfi. 563
Dans ce cas les trois radicaux doivent être positifs, ou Vun positif et les deux autres négatifs, a” Lorsque q est positif, ou que la proposée est
x*-(- px'-^ qx -f- r = O,
il a a
{trois radicaux négatifs, ou un négatif et deux positifs).
Pour obtenir les quatre racines en fonction immédiate des coefficients de la proposée, il faudrait remplacer s\ s’, s" par leurs valeurs tirées de la réduite; mais les formules que l’on obtiendrait seraient, comme on peut en juger, extrêmement compliquées.
