DISCUSSION

395. La réalité ou l’imaginarité des racines de la proposée dépend essentiellement de la nature des racines de la réduite ; ainsi l’on est conduit à établir les hypothèses suivantes ;

1* Lti réduite peut avoir ses trois racines réelles. — Mais alors, comme son dernier terme — q‘ est essentiellement négatif, il s’ensuit que ces trois racines sont positives, ou bien que l’une est positive et les deux autres négatives (315).

Si les trois racines de la réduite sont positives, les quatre racines de la proposée sont nécessairement réelles.

Si l'une d’elles seulement, s' par exemple, est positive, les quatre racines de la proposée sont imaginaires, à moins que l’on ne suppose les deux racines négatives, s", s" de la réduite (6), égales entre elles, auquel cas les formules (7) et (8) se réduisent à

ou bien

bl 1 -

- 1 Ci

-iv/?-

iv^;

c’esbé-dire que, dans ce cas particulier, les deux premières racines sont imaginaires, et les deux autres sont réelles et égales.

CHAPITBB II.

a° La réduite peut avoir une seule racine réelle. — Soit é cette racine, qui est nécessairement positive (puisque le dernier terme — 9’ est négatif) ; comme les deux autres racines s’ et s“ sont imaginaires, si l’une est do la forme a -t- l’autre est nécessairement (386) de la forme

a — b Or on a (121 )

d'où

+ b ^ — I — \a — b ^ — 1 =in y/ — i.

Donc, quel que soit le signe de q dans la proposée, les deux premières racines sont réelles et les deux autres imaginaires^ car, dans les formules (7) et (8), les expressions des deux premières racines renferment V''P et y/ï° avec le même signe, tandis que dans les expressions des deux dernières ces deux radicaux sont afTeclés de signes contraires.

En récapitulant, on voit que l'équation du quatrième degré peut avoir ses quatre racines réelles à la fois ou imaginaires à la fois, ou bien avoir deux racines réelles et deux racines imaginaires. (Ce résultat est conforme au principe établi n“ 313).

Méthode de résolution des équations du troisième ou du quatrième degré par les fonctions symétriques.

De toutes les méthodes que les analystes ont essayées pour résoudre les équations algébriques, celle qui est fondée sur la théorie des fonctions symétriques, et que l’on doit à Lagrange, est sans contredit la plus féconde et la plus élégante, quoiqu’elle entraîne dans des calculs assez longs ; mais du moins on se forme aisément une idée de la manière dont elle peut être appliquée aux équations d’un degré supérieur au quatrième.

Pour faire mieux concevoir celte méthode, nous allons d’abord l’appliquer à l’équation du second degré.

Equation du second degré.