Sommation des termes de In série

a, b, c, d,.. i, l étant Ic.s termes d’une progression par différence. On a, d’après la formule du binôme,

6" = {« -I- ri"= mni^' -H m —

c"r= (ô H- r)"= 6"-- vrbf“~' -+■ m ~ ^ + . . , ,

f" = { X- -I- r)" = /■" H- mrk^-' -i- m — ^ -t- . . . .

Ajoutant toutes ces égalités membre à membre, et désignant par S„, S„, , S„„ . . ■ , S„ S, les sommes des ( m — ly''"", . . . puissances, on obtient

ou, réduisant,

formule qui renferme les sommes des puissances, depuis S„, jusqu’à S, inclusivement. ^

(S, étant égal à a*-+- ô*h- c“ + . . X*-+- /" équivaut à n.)

Pour faire connaître l’usage de la formule (A), faisons successivement

Soit 1° m = I ; on trouve

Z — a = r(S,— /•); dou 8,= —^; — hi = -i j n,

résultat que l’on connaît déjà.

2° m = 2 ; il vient

Z'-«’=2r(S, — Z) -hr’(S,-Z*

d’où

^ n-ri- r(Z-a).

donc

Dieiti^ed :*

SOBHATION DES PCISSANCES SEMBLABLES. 5gi

OU bien, à cause de / = a -t- (n — i) r, d’où / — a -h r = nr,

{l-i-a)nr {/-+-a)n

' ir 2

résultat qui est encore connu (187).

3° m = 3; la formule (A) devient

résultat qui fera connaître S, en fonction de S, et de S„.

et cette formule donnera S, en fonction de S„ S,, S,; ainsi de suite.

D’où l’on voit qu’on pourra toujours obtenir la somme des puissances semblables d’un nombre déterminé de termes en fonction des sommes des puissances inférieures, quels que soient les degrés de ces puissances.