Pboblême. — Trouver la dérivée d*une fonction implicite

Désignons par.r une fonction implicite de x, donnée par l’équation

ai noos supposons que^ ait été remplacé dans /(x,/) par sa valeur en fonc* tioD de X, f{xtx) sera identiquement nulle, ainsi que sa dérivée. Ou aura donc

et, en appliquant la règle dca fonction, composes, d’où

ou y' =

ÇTigiiizru i ■ LÙ‘T -b

DFS FONCTlO?îS DÉRIVÉES.

en posant, pour abréger,

Exemple.

on a par suite

a'jr * -f-

X = ^b'Xt y = aaV,

a*jr

Application de la théorie des dérivées aux développements de /.(t + a:)rf de arc tangx en séries convergentes ordonnées suivant les puissances croissantes de Xy lorsque cette 'variable reste comprise entre — i et -4- i.

37. Théorkme. — Lorsque la dérivée d'une fonction peut être déi'cloppée en série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de la variablcy il en est de meme de la fonction proposée,

^’ous ne démontrerons ce théorème que dans le cas où la série qui représente la dérivée a ses termes de même signe, et dans celui où cette série a ses termes alternativement positifs et négatifs.

Soit f{x) la fonction proposée, et supposons (juc sa fonction dérivée f'i^x) puisse être représentée, au moins entre certaines limites, par la série

posons

Aç A, JT -+- A, Aj x’-f-. • .”1“ A„ jt" -t-..*;

Je dis que cette nouvelle série, qui a également pour dérivée f'{x), est convergente entre les mêmes limites de la variable.

En effet le terme général de la seconde série peut s’écrire

et l’on voit que, lorsque n 4-i est supérieur à x, il est moindre que le terme qui occupe le môme rang dans /'(x). Donc les termes de la série ç(x) finissent par être moindres que ceux de la série f'{x), et puisque celle-ci est convergente, il en est do même do l’autre, h plus forte raison.

En effet, si la série /'(x) a ses termes de môme signe, la valeur numérique de 9 (x) sera inférieure à celle de /'(x), et par conséquent sera une quantité finie; a® si les termes de la série /'(x) ont alternativement le signe et le signe — , ces termes devront décroître indéfiniment pour que la série f'{x) soit convei^enle, et cette condition de convergence sera évidemment satisfaite par la série p(x).

Maintenant /(x) et p(x), ayant la môme dérivée, ne peuvent différer que par une constante. Donc

Donc /'(x) peut être développée en nérie convergento ; ce qu’il MUit démontrer.