Expression de A^n,. — On a, par définition

Au, = tt, — tt„

A*«, = Au, — Au,.

Si l’on retranche la dernière égalité de la somme des deux premières, on aura

A* U, = Mj — 2tt, -4- U,.

64o HOTE TI.

En opérant de la m^mo manière sur cette égalité et les deux suivantes,

on obtiendra

et ainsi de suite. Tous ces résultats partiels sont compris dans la formule

ou dans la formule symbolique

pourvu qu'après le développement du second membre on change les exposants en indices.

La généralité de cette loi se démontrerait comme dans le numéro précédent. 5. Applications. — i® Soit la suite des carrés

on a

Am, = I, A*«,= 3, A*«,=:0, A*w,=50,...,

Donc» d'après la formule (i)

né n — i) - ,

le terme général de la suite est donc /i’, comme on devait s'y atttendre. D'après la seconde formule, on aura

d’où l'on conclut, puisque les différences d’un ordre supérieur au second üoi> vent ètic nullcs, que l’on a

rt’ — n ( n — I )* H ^ ^ ( /I — 3 — . , . = O,

quand n est plus grand que 3.

3® Soient

les différences premières de cette suite sont

les différences deuxièmes

Go(V’

Ml

DES DlFFfilBItCES.

lc& iU0ercnco6 troisième»

i‘l les différences d'ordre supérieur sont nullcs.

On a, dans cet exemple,

«,= Ug-h n Aa,H A*«, H ^ r A'i/j,

et il n'y a pas besoin d'aller plus loin, puisque les différences d’ordre supérieur sont nullos. On aura donc, en remplaçant A*Ug, A'i/^ par leurs valent*»,

4d, toute réduction faite,

On retrouve ainsi la formule qui sert h calculer la somme des carrés de la suite naturelle des nombres

('onnaissant ies résultats la substitution de m nombres entiers consécutifs dans une fonction entière du degré /n, on obtient facilement, au moyen des différences, les résultats de la substitution de tous les autres nombres entiers positifs ou négatifs. — Application au cas d'une fonction entière du troisième degré dont on connaît les valeurs correspondant aux valeurs — l , O cr -f- i de la variable,

0. Dans ce qui précède, nous n'avons fait aucune hypothèse sur les valeurs des quantités u^, n,,. . mais si l’un suppose que les termes de cette suite sont les valeurs consécutives que prend une même fonction, entière et du de- (*ré ni, quand on attribue à x des valeurs en progression par différence, on arrive à ce théorème important :

La différence de l'ordre m d'une fonction entière et du degré m est constante si la différence de ta variable est clle^mime constante.

Soit, en effet,

U = /(x)= A,jr”-f- A,x"‘*-4- A,x""*-t-...

la fonction considérée; nommons h la différence constante des valeurs consécutives de X, et x« la première valeur attribuée à x, on aura

/*(x, -4- A) = A, (x, -h A )"* -+- A|(Xg -4- A ,

d’où

Au = /( X, -4- A) — /(x)= mA, x^"' A h-, .

l4i différence première est donc du degré m — i, et son premier terme s’obtient en multipliant par A la dérivée, prise par rapport à x,, du terme A,x^t.

Pour obtenir la différence seconde, il suffira d’opérer sur A« comme nous venons de le faire sur la fonction cllc-mème, et l'on aura pour valeur de un poWnéme du degré m — dont le premier terme sera

(m — i)mA,x^"'*A*;

aIk- /;. 4 ‘

ROTB VI.

et aioii de suite. De sorte que la difiereoce wi'*"* sera néceaMirenoeot, d'après cette loi,

et ne dépendra pas de la valeur initiale attribuée à x,

7. Le théorème que nous venons de démontrer simplifie considérablement le calcul des substitutions dans une fonction entière, lorsque les nombres à sob* stituer forment une progression arithmétique. Si la fonction est de degré m, il suffira de connaître les résultats de m substitutions. On en déduira m — i dU> férencos premières, m — a difTércnces secondes, etc., une différence (m — i)'^. Quant aut diffcrencos m****", qui sont constantes, elles sont données par la formule

A"*u = 1 .3,3. . . mA, A".

Ces calculs effectués, on pourra ensuite former les substitutions ultérieures par de aimples additions.

Exemple. — Soit

Supposons que les valeurs à substituer soient les termes de U suite naturelle des nombres. Je commence par substituer les nombres — i, o, *4- 1 , et j 'ai le tableau suivant, dans lequel je n'écris d’abord que les nombres qui sont roar> <|ués du signe *.

Pour coDtinu.r ce tableau, je remarque que l'on a

Donc — a .era le nombre qu'il faudra écrire au-dessous de — 8 dans la quatrième colonne.

3'aurai ensuite

Ab, = du, -+- d’ «, = a — a = 0.

Donc léro sera le nombre à inscrire au-desaous de a dans la troisième colonne.

Enfln j'aurai

n, = U, -t- Au, = I -f- 0 = I .

Donc I est la valeur de u, ou de /(a).

On calculera de même /(3), /(4),. . .. Une opération inverse permettre «le prolonger le tableau dans le sens opposé et do calculer /(— a),/( 3),. .

i>. Le tliéorèmc démontré au commencement de cet article admet une réciproque, qui consiste en ce que, ai une auito u„ «„ u„. . ., o, admet dee diffé-

Au A'u A*u

DES DIFFfiRKICBS.

rencet constantes, a„ u,, sont les Taleurs consécntiYes que

prend une fonction du dcjr^ quand 00 y substitue à la variable des valeurs équidistantes.

En effet, le terme cénéral de la suite sera, d'après la formule (1), p. Sag,

^ «(rt — 1) ..

du, H

et le second membre s’arrêtera là, puisque les différences d'ordre supérieur sont nulles. On voit donc que les termes donnés sont les valeurs d'une fonction entière do n correspondant aux valeurs 0, i, a,..., n do cette variable, c'est-à-dire à des valeurs équidistantes.

On rciharquera que la différence de la progression est 1. C’est, en e0et, à cette valeur qu'on peut toujours ramener cette différence, puisqu'il est évident que faire x = a, a-t-A,. . a-f-nA dans /{x) revient à faire x = 0, 1, a,..., n dans /(a -H j:A).

Formules ^interpolation.

8. 11 arrive souvent que l'on connaît les valeurs que prend une fonction de forme inconnue pour certaines valeurs x„ x,, x,,..., x,,.«., x^ de la variable, et que l'on a besoin de déterminer des voleurs intermédiaires de la fonction. Il est clair que ce problème ne peut pas être résolu dans toute la rigueur mathématique; maison peut en donner une solution suffisamment appro* chée. A cet effet, on déterminera une fonction ^(x) qui jouisse do la propriété de prendre les mêmes valeurs qne/(x) pour les valeurs x„ x,,. . en sorte que l'on ait

Puisque la différence des deux fonctions p(x) et /(x) est nulle pour x = x, et pour x = x^^,, si ces deux valeurs no sont pas éloignées l'une de l’autre, 011 conçoit que la différence entre p(x) et /(x) no pourra pas être très-grande dans l'intervalle. On pourra donc, sans erreur sensible, substituer p(x) à /(x) pour les valeurs comprises entre x„ et x.^,. On donne à cette opération le nom à’interpoUuion,

L’interpolation peut encore s'appliquer à des fonctions connues, mais dont la forme compliquée se prête difncllement au. calcul.

Le problème de l'interpolation, tel qu'il vient d'ètre posé, est nécessairement indéterminé, car on peut, en général, y satisfaire avec une fonction p(x) de forme donnée, pourvu qu’il entre dans la composition de celle-ci autant do constantes arbitraires qu'on lu! impose de conditions.

10. Le problème de l’interpolation cesse d’ètre indeterroiné lorsqu'on smujetUt la fonction f (x) à être entière et d’un degré nférieur d’une unité au nombre des valeurs données de /(x).

Car si deux fonctions entières du degré m, p(x) et ^(x) pouvaient prendre la même valeur pour m -f-i valeurs x„ x,,. . x^ de la variable, l’équation

qui e*t au plu. du degré, admettrait m -h i racine. x„ x x„, et qui

est contraire à un théorème démontré (230).

644 KOTB Tl.

11. Formule de Lagrange. — La fonction f;(x) étant choUie entière et du degré m, on pourra poser

çï(a )= A, A, A, A^,

et, pour délerminor les tn h- i coeffleients inconnus» on aura à résoudre les équations suivantes, qui sont en même nombre :

A^J^m-t-AiX,, *^A,x„ ,-f- A„, = u„.

Remarquons maintenant que» si l'on tire de ces équations les valeurs de A«. A(|. . •) A„» chacune de ces inconnues sera exprimée par une fraction dont K deiiominatcur sera indépendant do u^^ u,»...» et dont lo numérateur renlermera ces quantités au premier degré. Si donc on remplace A«, A,, A„... par leurs valeurs» on pourra mettre p(x) sous la forme

X,, X„. . X„, étant des fonctions de x et de x„ x,, x,, . . . »

Or p(x) devant se réduire à pour x = x,» k u, pour x = x,, on voit que toutes ces conditions seront remplies si l'on choisit la fonction auxiliaire de telle sorte qu'elle s’évanouisse pour x = x„ Xp...» x„,, ci

qu'elle se réduise à l’unité pour x= x^.

D’après cela, la fonction X», qui est entière et du degré» et qui doit s'annuler lorsqu’on y substitue à x les m valeurs x,, x,,...» x„», ne peut être que de la forme

X« = B (x — X|) (x — X,). . .(x Jfm)t

B désignant une constante ; mais elle doit sc réduire à i lorsqu'on y fait x = x,. Donc on aura

I = B(x,— x)(x, — x,)...(x„— x„,); d'où* en éliminant B par division»

on trouvera de même

et ainsi de suite.

Donc on aura

DES DIFFÉRENCES

Cette formule ne euppoee aucune relation entre les valeurs x„... » x„.

Ses différents termes sont calculables par logarithmes.

12. Formule de Newton, — Cette formule suppose que les valeurs de la va* riable sont équidistantes.

Nous avons trouvé la formule

nin — i) , -

Posons

X — x-=:nA, d ou A = » n = ,

Aux valeurs n = O, i, 3,. .. correspondent, pour x, les valeurs x^, x,h- A =x„ x,-K xA = x„ et vice 'versâ.

Par suite, la fonction

jouira de la propriété de se réduire h n, pour x = x«, à u^ pour x= x,,. . . . Ce sera donc la fonction demandée, puisqu'elle est évidemment du degré m.

13. Application de ta formule d'interpolation de Newton à la représentation exacte d'une fonction entière /(x) du degré m dont on connaît les 'tmleurs //„ u^^eorrespondant aux valeurs de Xy x„ x,-h A, x,-t-aA,..., x^-¥-mfi. Si ta différence h et les quantités A«o, A* A" «, sont positives,

-4-x, (m — i)A est une limite supérieure des racines positives de l'équation /{x)= O.

Puisque la fonction qu’il s'agit d’interpoler est entière et de degré m, on aura exactement

/(x) = U, -I- ao. 4-. . .-t-

Or quand on substituera dans le second membre un nombre plus grand que x,-H(m'~i)A, tous les coefficients seront positifs. Donc, puisque Au,, A*fJ„... sont positives, /(x) sera positive et ne pourra s'annuler pour aucune valeur de X supérieure à x -f- (m — i)A.

On démontrera, avec la même facilité, que si i/,, A„... ont alternativement le signe -4- et le signe x, — (m ^ j)A est une limite inférieure des racine» de la proposée.

NOTB TU.