I® Expression t/e «„. — On a, par définition

An, = AWp-i- A*«p.

Ajoutant CCS trois égalités membre à membre, on trouve «, S= i/„ 2 Aw, -h A* «p.

La même formule, appliquée à la suite Ar/p, Au,,..., donne Au,= Aug-h 2 A*«p-f- A'ttg;

DES DIFFÉRENCES

on a d’ailleurs, par définition,

K, = «, -4- An, ;

ajoutant ces trois égalités, on aura, après réduction,

«, = Aao"+"3 A*«,;

et ainsi de suite. ,

Les cooflicients de n, étant ceux du carré d’un binôme, les coefficients de h, ceux du cube, on est porté à conclure que la formule générale doit être

«„ z= -h n An, -f

Pour s’assurer de la justesse do cette induction, il suffit de chercher si cette loi, étant vraie pour l’indice n, l'est encore pour l’indice suivant n -4- i.

Soient i. A, B, C, ... les coefficients de la puissance d’un binôme, et supposons qu’on ait trouvé

La même formule, appliquée à la série des diflTérences premières, donne A«„= An,-h AA*a,-4-BA*«o-4-CA*n,-4-. ...

On a d’ailleurs, par définition,

Ajoutant ces trois égalités, on trouve, toutes réductions faites,

“n+i = n,-4-(A 4-i)An, -f-(B-4-A)A*ü,-4~....

Or on sait que, si i, A, B, G,... sont les coefficients de la puissance d’un binôme, i, i -t- A, A -j- B, B -t-C,. . . sont les coefficients de la puis-

sance. Donc le théorème s’applique à

La formule (i) peut s’écrire symboliquement

pourvu qu’apres le développement, effectué comme s’il s’agissait de multiplier par U, la puissance du binôme i + A, on considère les exposants comme des indices.