SOMMATION DES PILES DE BOULETS

(Pacc S96.)

1. La sommation des piles de boulets dépend de quelques-unes des formules démontrées dans ce paragraphe.

Pile triangulaire. — Dans une pile triangulaire, la base se compose de plusieurs files do boulets dont la première contient n boulets, la seconde n — 1 , la suivante n — 2, et ainsi de suite jusqu’à la dernière qui ne contient qu'un boulet.

Le nombre des boulets de la base est donc

n-t-n — i-+-n — 2-t-...-f-2-+-i, ou (2!9) •

La tranche horiiontale située au-dessus ne diffère de la base qu'en ce qu’clUcontient un boulet de moins sur chaque cèté, ce qui donne pour le nombre dises boulets

fji — 0 «

et ainsi de suite.

Le nombre total des boulets do la pile sera donc

c’est-à-dire, en désignant par T la somme des n premiers nombres triangulaires (417),

Pile quaàrangulaire. — Dans une pareille pile, la base est formée de a' boulets rangés en carrés; la couche qui vient après de (n — i)* boulets, et ainsi de suite jusqu’à la dernière couche qui n’en a qu’un. D’après cela, le nombre Q des boulets est donc égal à la somme des carrés des n premiers nombres : on aura donc (414)

1. Pile rectangulaire. — Dons cette pile les tranches successives sont disposées en rectangles, de telle sorte que la différence entre le nombre des boulets du grand cèté et du petit cèté du recunglo soit toujours la même.

Supposons que la première tranche à partir du sol contienne n boulets sur le petit cète et o -t- A sur le grand.

SOSniATlON DES PILES DE BOILETS. 655

La seconde tranche contiendra n — i boulets dans le sens de la lar^ur, et ,i -, t ^ h dans le sons de la longueur, et ainsi de suite.

Le nombre de boulots de la première sera (n •+• h) ou n*-^^ nk; celui de la seconde (n — 0*-»-(n — i)^; celui de la troisième (« — a)*-+- (/i — a) A, et ainsi de suite.

Donc, en nommant R le nombre cherché, on aura

et, après réduction,

n(n-hi). , , .

R = — ' (an -h I -H 3 A).