SUR LA MÉTHODE DE NEWTON

Dans ce second cas, en partant de la râleur approchée par excès OB = on aura une jioiivelle valeur approchée dans le même sens, si l’on retranche de OB la valeur absolue de la sous-tangente BE,

et cette formule donnera des valeurs toujours approchées par excès et convergeant vers la véritable racine.

4. Dans tous les cas, si l’on mène la corde MN, qui rencontre l’axe des x en D, le point R sera compris entre le point G et le point D {Jig. i), ou entre le point E et le point D {Jîg- a). OD sera donc une limite supérieure de la racine OR si l’arc MR est convexe par rapport à l’axe des a:, et une limite inférieure dans le cas contraire.

On trouve, en calculant OD par les règles de la Géométrie analytique,

OD = n

na){b-à) . /(*)(»-«)

5. En résumé, pour rapprocher indéfiniment d’une racine, on en déterminera d’abord deux limites a et è, l’une inférieure, l’autre supérieure. Ces deux limites devront être assez rapprochées pour ne comprendre aucune racine des équations /'(-c) = o, f”{x')~Oy afin que la courbe qui a pour équation /{.^) n’ait, entre les points M et N, ni tangente parallèle à l’axe des ar, ni point d’inflexion.

Ces conditions étant remplies, il peut se présenter deux cas.

Si f"(à) est de même signe que /(<»), ce qui correspond au cas où l’arc MK est convexe par rapport à l’axe des x.

seront deux nouvelles valeurs approchées de la racine.

Si /”(a) est de signe contraire à /(a), ce qui correspond au cas où l’arc MR est concave par rapport à l’axe des x, on aura pour nouvelles limites

a'=zb —

f’ib)

Dans tous les cas, en opérant sur les nouvelles limites de la racine, comme on l’a fait sur les premières, on se procurera une suite indéfinie de valeurs approchées et dont le degré d’approximation sera toujours connu avec certitude.

KOTB IX.