î/'-f- If) , 2(i — 3l

■- ou 23<-t-I-i ^

Or a est premier avec 1 7 ; donc, pour que la seconde exprqpsion soit un nombre entier, il faut et il suffit que i — 3r' soit divisible par 17.

Posant -î — ~ = I", on en tire

i-iyt'

OU, efTectuant la division,

raaPiTBE iv.

Soit — ^ on obtient

«’=3r— 1, d'où /'= — 6(3<"— ou t'= — i7r-t-C.

Reportant cette valeur dans l'expression x = i -f- 33/', on obtient, toute réduction faite,

x= an — SgSt",

Telle est la formule propre ù donner toutes les valeurs de x susceptibles de satisfaire à l'énoncé.

Soit r"= O, on trouve x = ai i : c’est le plus petit de tous les nombres cherchés.

En sup|x)sant ù t" des valeurs négatives quelconques, on obtiendrait les autres solutions (en nombres positifs).

£. — Nous rcmar<|uerons que 5g5, coefTicicnt de i” dans la formule, est le produit 7x17x5 des dénominateurs des trois expressions proposées. Il serait aisé de se rendre compte de cette propriété, qui se modifie lorsque les dénominateurs no sont pas les premiers entre eux ; car, dans ce cas, le coefficient est égal au multiple le plus simple des dénominateurs.

140. Il nous reste encore à parler des problèmes dits plus qu’indéterminés, c'est-à-dire de ceux i>our lesquels le nombre des équations est moindre de deux ou de plusieurs unités que le nombre des inconnues.

Soit d’abord l’équation à trois inconnues ax-^-by-^cz — d. Si l’on fait passer le terme cz dans le second membre, il vient

ax -h bjr = d — cz ou ax-hbj' = c'

( c' désignant la quantité d — cz, qu’on regarde pour le moment comme connue).

Cela posé, l’on établit pour l’éqtiation ax -i-by=: c', les deux formules x=a — bt, 7" =6-1-0/.

Après quoi 1’°" remjduce, dans a et 6, c' par sa valeur d — cz ; alors x et 7" se trouvent exprimés en fonction entière de l’indéterminée t, et do la troisième inconnue z.

Soit proposé, par exemple, de pajer 187 francs mec des pièces de 5 francs, 6 francs et ao francs, sans aucune autre monnaie.

Désignons par x, 7-, z les trois nombres de pièces qu’il faut donner de

ÉQUATIONS INDÉTERMINÉES A PLIS DE DECX INCONNUES. 3o5 chaque sorte; on a l’équation

qui revient à

Tirant de cette équation la valeur de x, on a

c'—Gr f'—T

x = — 1 ou bien x= — i -i ~-

Posant — ~ = /, on en déduit

— 5r, d’où j=— r'-+-6f.

Remplumant, dans ces deux formules, c' par sa valeur 1 87 — 203, on trouve enfin

Tant que l’on admettra pour x et jr des nombres entiers, positifs ou négatifs, on pourra donner à 3 et à r des valeurs tout à fait arbitraires ; mais si l'on veut satisfaire directement à l’énoncé, la forme même de l’équation proposée, 5.r-i- 6 7 -t- 2oi = 187, prouve que 3 ne doit pas recevoir de

valeurs au-dessus de ou 9 car autrement x ou r serait négatif.

Posons donc successivement

Si l'on fait 3=0, les valeurs de x et de deviennent x = — 187-1-61, t'=i87 — 51;

formules qui prouvent que / doit être > mais < '^> ou > 3i

mais <37|- Donc t peut recevoir six valeurs, savoir ; 3a, 33, 34, 35, 36 et 37.

Ainsi, pour 3 = o, on a

1=32,33,34,35,36,37; x=5, ii, 17,23,29, 35; t'=27,22, 17, 12,7,2; Soit 3=1, on trouve

d’où

/>-g^ ou 27g) mais < -y ou 33^;