ÉQÜATIOTÎS INDÉTERMINÉES A PLUS DE DEUX INCONNUES

nérale : — i® Éliminez Viine des inconnues entre les équations proposées^ et cherchez pour V équation résultant de cette élimination les formules qui donnent les deux inconnues qui y entrent, en FONCTION entière d'une indéterminée t, — a® Substituez ces expressions dans l'une des équations proposées, ce qui donne une nouvelle équation ne renfermant plus que t et V inconnue que Von avait d'abord éliminée, — 3® Déterminez, jxutr cette équation, les deux fornudes qui donnent les expressions des deux inconnues qui y entrent en fonction ENTIÈRE d'une seconde indéterminée V, — 4** Substituez enfin l'expression de t dans celles des deux premières inconnues.

Les valeurs des trois inconnues se trouvent ainsi exprimées en fonction entière do et il ne s’agit plus, après cela, que de déterminer pour r ' les limites entre lesquelles ces valeurs doivent se trouver pour que celles des inconnues principales soient entières et positives.

N. B, — Tontes les fois que Tune des inconnues a pour coefficient l’unité dans l’une des équations, il est plus simple d’éliminer cette inconnue, parce qu’après avoir exprimé les deux autres en fonction entière d’une même indéterminée, si l’on reporte ces valeurs dans l’équation où la troisième inconnue est affectée d’un coefficient égal à l’unité, on obtient immédiatement cette troisième inconnue en fonction entière de la même indéterminée; ainsi, dans ce cas, une seule opération est suffisante. Les deux équations du n® 13ü en ont offert un exemple.

437. Voici la marche qu’il faut suivre pour trois équations à quatre inconnues : J près avoir éliminé l'une des inconnues, on exprime, a Vende des deux équations résultantes, et d'après ce qui vient d'étre dit, les trois autres inconnues en fonction entière d'une meme indéterminée; et l'on substitue ces valeurs dans l'une des équations proposées. Si, dans la nouvelle équation, les coefficients des deux inconnues qui y entrent sont différents de l'unité, on établit deux fornudes qui donnent ces inconnues en PONCTION ENTIÈRE d'une Seconde indéterminée ; puis on remplace, dans les expressions des trois premières inconnues, la valeur de la première indéterminée en fonction de la seconde, et Von obtient ainsi les quatre inconnues primitives en fonction entière de la seconde indéterminée.

Même raisonnement pour quatre équations à cinq inconnues, etc.

438. Nous proposerons, pour exercice, les questions suivantes :

Première question. — Un monnayeura trois sortes d'argent. Sur i hilo-

gramme, la première contient ^ d'argent, la seconde et la tnnsième ~ • U veut faire un alliage de 3o kilogrammes pesant qui, sur i kilogramme.

CBAPiTas ir.

contienne - fl’argenl. Combien (en nombres enlicrs) cloil-il prendre de

kilogrammes de chaque sorte ? r

Réponse.

.r=io, 12, i4, i6, i8; = 20, i5, lo, 5, o;

c’est-à-dire cinq solutions, en admettant o pour valArs de y et de z.

Devxiëmb QUESTtO.N. — Trouver trois nombres entiers tels que la somme de leurs produits respectifs par les nombres 3, 5, 7, soit égale à 56o, et que la somme de leurs produits par les carrés 9, 25, 49, soit égale à 2920.

Réponse.

c'est-à-dire deux solutions.

TEOlsiàME ouESnos. — Trouver un nombre entier N qui, étant divisé lutr II, donne le reste Z \ divisé par ig, donne le reste S; et divisé par 29, donne le reste 10.

Réponse.

t étant entier; on sorte que 4>ï8 est le plus petit nombre entier absolu qui satisfait à l'énoncé.

Quatrième question. — Trouver pour x un nombre tel que les expres-

3x— 10 ii.r-i-R iGj^— I . , ,

stons 1 ) - — 1. soient des nombres entiers.

Réfxmsc.

139. Remarque im/iortante. — Si, dans la dernière question, on désigne

, , .. . 3.x — 10 iix-(-8 i6x — I

par J-, Z et v les quotients

équations du problème

on a pour les

3x — io = 7r, iix-+-8 = i73, i6x— i = 5e;

ou bien

3x — 77 = 10, iix— 172= — 8, i6x — 5e=i.

U faudrait donc leur appliquer la marche indiquée dans le numéro précédent pour trois équations à quatre inconnues. Mais nous allons dévelop-

tQL’ATIOMS INDtTERMlKiES À PLUS DE DEUX lACONKUES. 2o3 per un moyen beaucoup plus simple de déterminer la valeur de x, qui est ici l’inconnue principale. Ce moyen est d'ailleurs appliquabic à toutes les questions du même genre.

D’abord, si nous considérons la troisième expression — ^ 1 dont le

dénominateur est le plus simple, elle revient à

ainsi, pour qu’elle soit entière, il faut et il suffit que x — i soit un multiple de 5.

Posons donc —y— = < ; il en résulte

Toute valeur entière de t, substituée dans celte dernière équation, donnera pour X un nombre qui satisfera à la troisième condition de l’énoncé.

Substituons dans la première expression ^ la valeur de x qu’on vient d'obtenir; elle se change en

ou, réduisant, a r — i -h - •

On voit que celle-ci sera entière si l’on suppose t = d'ailleurs celte condition est nécessaire. Ainsi, pour que la première et la troisième des expressions proposées soient entières, il faut ot il suffit que l’on ait

t étant de la forme i = ce qui donne x=n-35/'.

Portons dans la seconde expression cette nouvelle valeur de x ;

il vient