Préambule

ARCHIMÈDE

Archimède à Ératosthène, salut.

Je t’ai envoyé précédemment les énoncés de quelques-uns des théorèmes que j’avais découverts, et dont je t’invitais à trouver les démonstrations, que je ne te donnais pas pour le moment. Voici quels étaient ces énoncés :

1 Si, dans un prisme droit à bases carrées, on inscrit un cylindre — ayant les bases inscrites dans celles du prisme et la surface latérale tangente à ses faces latérales — et qu’on mène un plan par le centre d’une des bases et un côté du carré opposé, ce plan détachera du cylindre un segment, limité par le plan sécant, le plan de base et une portion de la surface cylindrique, dont le volume sera le sixième de celui du prisme entier ;

2 Si l’on inscrit dans un cube un premier cylindre, ayant les bases inscrites dans deux faces opposées du cube et la surface latérale tangente aux quatre autres faces ; puis un second cylindre, ayant les bases inscrites dans deux autres faces opposées et la surface latérale-tangente aux quatre restantes ; le volume formé par l’intersection des deux surfaces cylindriques et commun aux deux cylindres vaudra les deux tiers du cube entier.

On voit que ces théorèmes sont d’une toute autre espèce que ceux que je t’avais précédemment communiqués. Dans ceux-là, en effet, je comparais, au point de vue du volume, des figures d’ellipsoïdes ou de paraboloïdes de révolution et des segments de figures ce genre à des cônes et à des cylindres ; mais jamais je ne trouvai qu’une figure pareille fût équivalente à un solide délimité par des plans. Au contraire, dans le cas actuel, j’ai trouvé que chacun des deux volumes considérés — compris entre deux plans et des surfaces cylindriques — est équivalent à un solide compris entre des plans.

J’ai rédigé dans le présent livre et je t’envoie les démonstrations de ces deux théorèmes. Mais te voyant, comme j’ai coutume de le dire, savant zélé, philosophe distingué et grand admirateur des [recherches mathématiques], j’ai cru devoir y consigner également et te communiquer les particularités d’une certaine méthode dont, une fois maître, tu pourras prendre thème pour découvrir, par le moyen de la Mécanique, certaines vérités mathématiques. Je me persuade, d’ailleurs, que cette méthode n’est pas moins utile pour la démonstration même des théorèmes. Souvent, en effet, j’ai découvert par la Mécanique des propositions que j’ai ensuite démontrées par la Géométrie — la méthode en question ne constituant pas une démonstration véritable. Car il est plus facile, une fois que par cette méthode on a acquis une certaine connaissance des questions, d’en imaginer ensuite la démonstration, que si l’on recherchait celle-ci sans aucune notion préalable. Par la même raison, les théorèmes dont Eudoxe a le premier découvert la démonstration, — à savoir que le cône est le tiers du cylindre, la pyramide le tiers du prisme qui ont même base et même hauteur, — il faut en rapporter une bonne part de mérite à Démocrite, qui le premier a énoncé, sans démonstration, les propositions relatives à ces figures.

En ce qui concerne aussi ces théorèmes, que je publie aujourd’hui, j’en ai fait la découverte d’abord [par la méthode mécanique. Aussi crois-je] devoir nécessairement t’exposer cette méthode, et cela pour deux raisons : d’abord, puisque j’y ai fait allusion ailleurs, je ne voudrais pas être accusé par quelques-uns d’avoir parlé en l’air ; ensuite, je suis convaincu que cette publication ne servira pas médiocrement notre science. Car, assurément, des savants actuels où futurs, par le moyen de cette méthode que je vais exposer, seront mis à même de découvrir d’autres théorèmes que je n’ai pas encore rencontrés sur mon chemin.

Je t’exposerai donc, en premier lieu, la première proposition que j’ai découverte par la Mécanique : « Tout segment de parabole vaut une fois et un tiers le triangle ayant même base et même hauteur », ensuite toutes les autres propositions découvertes par la même méthode. À la fin du livre j’inscrirai les [démonstrations] géométriques….