Lemmes

I. Si l’on [retranche une grandeur a d’une autre grandeur A n’ayant pas le même centre de gravité, le centre de gravité de la grandeur restante b sera situé sur la droite qui joint les deux autres centres, prolongée dans le sens du centre de A ; et l’on obtiendra la distance du centre de b au centre de A] en prenant une longueur qui soit par rapport à la distance des centres de A et de a, comme le poids de a est au poids de b.

II. Si les centres de gravité d’un nombre quelconque de grandeurs sont situés sur une même droite, le centre de gravité du système total sera également situé sur cette droite.

III. Toute droite a pour centre de gravité le point qui la divise en deux parties égales.

IV. Tout triangle a pour centre de gravité le point de rencontre de ses médianes.

V. Tout parallélogramme a pour centre de gravité le point de rencontre de ses diagonales.

VI. Le cercle a pour centre de gravité son centre de figure.

VII. Tout cylindre a pour centre de gravité le point milieu de son axe.

VIII. Tout cône a pour centre de gravité [un point situé sur la droite menée du sommet au centre de la base et qui la divise en deux segments dont celui qui part du sommet est] triple [de l’autre]. [Les propositions] ci-dessus [ont été précédemment] démontrées ; [on y joindra la suivante dont la démonstration est facile] :

IX. [Étant données deux séries de grandeurs AA1A2A3…, BB1B2B3… en même nombre et telles que le rapport de deux grandeurs de même rang soit constant A/B = A1/B1 = A2/B2…], si tout ou partie des grandeurs A sont dans des rapports quelconques avec des grandeurs CC1C2… et si les grandeurs B de rang correspondant sont respectivement dans les mêmes rapports avec d’autres grandeurs DD1D2…, la somme des grandeurs A sera à la somme des grandeurs C considérées, comme la somme des grandeurs B à celle des grandeurs D correspondantes :

[ΣA/ΣC = ΣB/ΣD].

ΖΓ/ΓΕ = poids ΑΔ/poids ΔΒ.

Puisque C/A = D/B, ou C/D = A/B = m, et de même C1/D1 = A1/B1 = m, etc., on a évidemment : ΣC/ΣD = ΣA/ΣB, d’où ΣA/ΣC = ΣB/ΣD.

Notre lemme peut être appliqué (et l’était sans doute dans le texte intégral des derniers théorèmes) pour passer de la constatation de l’équilibre des sections AA1A2… CC1C2… déterminées par des plans équidistants dans un volume V et dans un volume auxiliaire W, à l’équilibre de ces volumes eux-mêmes. Considérons, en effet, les sections A comme les bases de prismes élémentaires BB1B2… dont la somme enveloppe le volume V ; et de même les sections C comme les bases de prismes élémentaires DD1D2… dont la somme

B/D = mA/mC = A/C, B1/D1 = A1/C1, etc. ; donc : ΣB/ΣD = ΣA/ΣC.

Reste à passer des corps enveloppants (ΣΒ, ΣD) aux volumes V, W eux-mêmes : c’est ce que fait Archimède en s’appuyant sur le postulat d’Eudoxe cité plus haut, p. 915, note 5. [Le contenu de la note qu’on vient de lire m’a été suggéré par M. R. Prévost.]