Théorème VIII-IX

[Tout segment sphérique plus grand qu’un hémisphère (?) a son centre de gravité situé sur son axe en un point tel que sa distance au sommet est à sa distance à la base comme la hauteur du segment plus quatre fois la hauteur du segment supplémentaire est à la hauteur plus deux fois la hauteur du segment supplémentaire :

ΧΑ/ΧΗ = ΗΑ + 4 ΗΓ/ΗΑ + 2 ΗΓ.]

[Soit ΒΑΔ (fig. 10) un segment sphérique, plus grand que l’hémisphère. Je prends sur sa hauteur ΑΗ le point Χ tel que ΧΑ/ΧΗ = ΗΑ + 4 ΗΓ/ΗΑ + 2 ΗΓ : je dis que Χ est le centre de gravité du segment.]

Prolongeons ΑΓ de ΑΘ = ΑΓ, et, dans l’autre sens, de ΓΞ égal au rayon de la sphère, et considérons ΓΘ comme un levier ayant pour milieu fixe Α. Dans le plan de base du segment, de Η comme centre, traçons un cercle avec un rayon égal à ΑΗ. Imaginons le cône qui a ce cercle pour base, Α pour sommet, ΑΕ, ΑΖ pour génératrices. Enfin, menons une parallèle quelconque ΚΛ à ΕΖ qui coupe la circonférence en Κ, Λ, les génératrices du cône en Ρ, Ο, la hauteur en Π.

Fig. 10.

On a d’abord :

Mais ΑΚ² = ΑΠ² + ΠΚ², ΑΠ² = ΠΟ² — puisque ΑΗ² = ΕΗ² — ; donc :

et, comme ΑΓ = ΑΘ :

Si donc on suppose le cercle ΡΟ déterminé dans le cône par le plan parallèle à la base du segment, transporté en Θ comme centre de gravité, puisque ΚΛ, ΡΟ ont pour centre de gravité Π, le cercle transporté fera équilibre par rapport au point Α à la somme des deux cercles ΚΛ, ΡΟ — déterminés dans le segment et dans le cône — laissés en place.

Il en sera de même pour tous les cercles de même genre déterminés par les plans parallèles à la base du segment : toujours le cercle déterminé dans le cône ΑΕΖ, transporté en Θ, équilibrera par rapport à Α ce même cercle et le cercle déterminé dans le segment sphérique, laissés en place. Au total donc, le segment et le cône, laissés en place, équilibreront par rapport à Α le cône transporté en Θ comme centre de gravité.

Considérons maintenant un cylindre ΜΝ équivalent au cône ΑΕΖ et prenons sur ΑΗ le point Φ tel que ΑΗ = 4 ΦΗ : Φ sera, comme on l’a vu (lemme VIII), le centre de gravité du cône ΑΕΖ. Coupons le cylindre par un plan perpendiculaire à ses génératrices, qui le divise en deux cylindres tels que l’un d’eux Μ fasse équilibre au cône ΑΕΖ. Puisque le cylindre total équivaut au cône ΑΕΖ, qui, en Θ, équilibre le cône et le segment en place, si le cylindre partiel Μ équilibre le cône ΑΕΖ, le reste, c’est-à-dire le cylindre partiel Ν, équilibrera le segment. On a vu (Théorème VII) que :

D’autre part :

(Comparant (4) et (5) il vient :)

Nous avons par construction :

ΑΧ/ΧΗ = ΗΑ + 4 ΗΓ/ΗΑ + 2 ΗΓ, ou inversement ΧΗ/ΑΧ = 2 ΗΓ + ΗΑ/4 ΗΓ + ΗΑ.

Si l’on combine ces deux expressions (en additionnant aux numérateurs de la seconde ceux de la première), il vient :

ΑΧ + ΧΗ/ΑΧ = (ΗΑ + 4 ΗΓ) + (2 ΗΓ + ΗΑ)/ΗΑ + 4 ΗΓ,

c’est-à-dire :

Mais on a évidemment :

Par conséquent :

En portant cette valeur de ΗΞ/ΑΗ dans l’équation (6), on a :

Le cylindre Μ équilibre par rapport à Α le cône ΕΑΖ. Ce cylindre a pour centre de gravité Θ, le cône a pour centre Φ. On doit donc avoir :

(d’où en soustrayant les numérateurs des dénominateurs) :

(ou en ajoutant les dénominateurs aux numérateurs) :

cyl. ΜΝ/cyl. Ν = ΑΓ/ΓΦ,

ou encore, puisque le cylindre ΜΝ équivaut au cône ΕΑΖ :

Combinant (12) et (9), il vient :

Mais on a vu que le segment équilibre par rapport à Α le cylindre Ν : le cylindre ayant pour centre de gravité Θ, cette égalité ne peut être vraie que si Χ est le centre de gravité du segment. C. q. f. d..

Tout segment sphérique a son centre de gravité sur son axe en un point tel que sa distance au sommet soit à sa distance à la base, comme la hauteur du segment plus quatre fois la hauteur du segment supplémentaire est à la hauteur du segment plus deux fois la hauteur du segment supplémentaire.

Ce théorème se démontre de la même manière que le précédent.

or, ΗΞ = ΗΓ + ΓΞ = (2 R − h) + R = 3 R − h, c’est-à-dire le quart de l’expression ci-dessus.

De même : 4 ΗΓ +  ΗΑ = 4(2 R − h) + 4 h = 8 R − 3 h ;

or, ΓΦ = ΓΗ + ΦΗ = 2 R − h + h/4 = 2 R − 3 h/4, c’est-à-dire encore le quart de l’expression ci-dessus.

On a vu, dans la première partie de la démonstration, que : (segm. ΑΒΔ + cône ΑΕΖ) restant en place équilibrent (par rapport à Α) le cône ΑΕΖ au c.g. Θ. Appelons Ω le c.g. du système (segm. ΑΒΔ + cône ΑΕΖ). Cette relation d’équilibre implique l’égalité :

Calculons segm. ΑΒΔ en fonction du cône ΑΕΖ. On a vu (Th. VII) que :

Mais :

d’où :

Remplaçant segm. ΑΒΔ par cette valeur dans (1), il vient :

d’où :

Ainsi le c.g. Ω du système (segm. ΑΒΔ + cône ΑΕΖ) est situé aux 2/3 de ΑΗ à partir de Α. Le cône seul (lemme VIII) a son c.g. en Φ aux 3/4 de ΑΗ à partir de Α. Si donc on appelle Χ le c.g. cherché du segment seul, on a (d’après lemme I) :

Comme ΩΦ = ΑΦ − ΑΩ = 3/4 h − 2/2 h = h/12 il vient donc :

ΑΧ = ΑΩ − ΧΩ = 2 h/3 − h²/12 (R + h′) = h/3 [2 − h/4 (R + h′) ] ;

ΧΗ = ΩΗ + ΧΩ =  h/3 + h²/12 (R + h′) = h/3 [1 + h/4 (R + h′) ],

et par conséquent :

ΑΧ/ΧΗ = 8 R + 8 h′ − h/4 R + 4 h′ + h = 12 h′ + 3 h/6 h′ + 3 h = 4 h′ + h/2 h′ + h,

ce qui est l’expression cherchée.

ΑΧ/h − ΑΧ = h + 4 (2 R − h)/h + 2 (2 R − h) = 8 R − 3 h/4 R − h ,

d’où, en additionnant chaque dénominateur au numérateur :

h/h − ΑΧ = 12 R − 4 h/4 R − h ; h (4 R − h) = (12 R − 4 h) h − ΑΧ (12 R − 4 h)

donc la distance ΧΣ (c’est-à-dire D) = R − h (8 R − 3 h)/12 R − 4 h = 12 R² − 4 hR − 8 hR + 3 h²/12 R − 4 h = 12 R² − 12 hR + 3 h²/12 R − 4 h = 3 (4 R² − 4 hR + h²)/4 (3 R − h) = 3 (2 R − h)²/4 (3 R − h). C. q. f. d.